USACO 中的动态规划问题

Question

在第2.2节中，一个叫做“子集和”的问题要求你计算一个从1到n的整数集有多少种方式可以划分为两个总和相同的集。

我知道复发是：

f[i][j] : j 与 1...i 相加的方式数

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i]

如果初始条件是：

f[1][1]=1;//其他都为零，主循环从2开始

或者：

f[0][0]=1;//其他都为零，主循环从1开始

答案都是f[n][n*(n+1)/4]。这是否意味着初始条件不影响答案？

但是如果我使用一维数组，比如 f[N]:

设 f[0]=1，从 1 开始循环（所以 f[0] 实际上是 f[0][0]），答案是 f[n]/2

或者f[1]=1，从2循环（f[1]是f[1][1]），答案是f[n]

我很困惑……

Answer 1

我不知道你是否仍然被这个问题所困扰，但这里有一个解决方案，供遇到此问题的其他人使用。

让ways[i] 是使用数字 1...N 的子集获得 i 总和的方式数。

那么就变成了0-1背包算法的变种：

基本情况：方式[0] = 1

for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = sum - i; j >= 0; --j) { //sum is n*(n+1)/2
        ways[j + i] += ways[j];
    }
}

您的答案位于ways[sum/2]/2。