求解具有不连续输入/强制数据的 ODE

Question

我正在尝试在 Python 中解决耦合的一阶 ODE 系统。我是新手，但到目前为止，来自 SciPy.org 的 Zombie Apocalypse example 提供了很大的帮助。

我的一个重要区别是用于“驱动”我的 ODE 系统的输入数据在不同的时间点突然发生变化，我不确定如何最好地处理这个问题。下面的代码是我能想到的最简单的例子来说明我的问题。我很欣赏这个例子有一个简单的解析解，但我实际的 ODE 系统更复杂，这就是为什么我试图理解数值方法的基础知识。

简化示例

考虑一个底部有孔的桶（这种“线性水库”是许多水文模型的基本组成部分）。桶的输入流量为R，孔的输出为Q。 Q 假定与桶中水的体积成正比，V。比例常数通常写成，其中T是商店的“驻留时间”。这给出了一个简单的 ODE 形式

实际上，R 是观察到的每日降雨总量的时间序列。 在每天，降雨率假设是恒定的，但在天之间降雨率突然变化（即R是一个不连续 时间函数）。我试图了解这对解决我的 ODE 的影响。

策略 1

最明显的策略（至少对我而言）是在每个降雨时间步长内分别应用 SciPy 的 odeint 函数。这意味着我可以将 R 视为一个常数。像这样的：

import numpy as np, pandas as pd, matplotlib.pyplot as plt, seaborn as sn
from scipy.integrate import odeint

np.random.seed(seed=17)

def f(y, t, R_t):
    """ Function to integrate.
    """
    # Unpack parameters
    Q_t = y[0]

    # ODE to solve
    dQ_dt = (R_t - Q_t)/T

    return dQ_dt

# #############################################################################
# User input   
T = 10      # Time constant (days)
Q0 = 0.     # Initial condition for outflow rate (mm/day)
days = 300  # Number of days to simulate
# #############################################################################

# Create a fake daily time series for R
# Generale random values from uniform dist
df = pd.DataFrame({'R':np.random.uniform(low=0, high=5, size=days+20)},
                  index=range(days+20))

# Smooth with a moving window to make more sensible                  
df['R'] = pd.rolling_mean(df['R'], window=20)

# Chop off the NoData at the start due to moving window
df = df[20:].reset_index(drop=True)

# List to store results
Q_vals = []

# Vector of initial conditions
y0 = [Q0, ]

# Loop over each day in the R dataset
for step in range(days):
    # We want to find the value of Q at the end of this time step
    t = [0, 1]

    # Get R for this step
    R_t = float(df.ix[step])   

    # Solve the ODEs
    soln = odeint(f, y0, t, args=(R_t,))

    # Extract flow at end of step from soln
    Q = float(soln[1])

    # Append result
    Q_vals.append(Q)

    # Update initial condition for next step
    y0 = [Q, ]

# Add results to df
df['Q'] = Q_vals

策略 2

第二种方法是简单地将所有内容提供给odeint，并让它处理不连续性。使用与上述相同的参数和 R 值：

def f(y, t):
    """ Function used integrate.
    """
    # Unpack incremental values for S and D
    Q_t = y[0]

    # Get the value for R at this t
    idx = df.index.get_loc(t, method='ffill') 
    R_t = float(df.ix[idx])       

    # ODE to solve
    dQ_dt = (R_t - Q_t)/T

    return dQ_dt

# Vector of initial parameter values
y0 = [Q0, ]

# Time grid
t = np.arange(0, days, 1)

# solve the ODEs
soln = odeint(f, y0, t)

# Add result to df
df['Q'] = soln[:, 0]

这两种方法都给出了相同的答案，如下所示：

然而，第二种策略虽然在代码方面更紧凑，但它远比第一种慢。我想这与 R 中的不连续性导致odeint 出现问题有关吗？

我的问题

1. 策略 1 是这里最好的方法，还是有更好的方法？
2. 策略 2 是个坏主意吗？为什么这么慢？

谢谢！

Answer 1

1.) 是的

2.) 是的

两者的原因：Runge-Kutta 求解器期望 ODE 函数的可微阶至少与求解器的阶一样高。这是需要的，以便存在给出预期误差项的泰勒展开。这意味着即使是 1 阶欧拉方法也需要一个可微的 ODE 函数。因此不允许跳跃，可以在 1 阶中容忍扭结，但在高阶求解器中则不能。

对于具有自动步长调整的实现尤其如此。每当接近不满足微分阶数的点时，求解器就会看到一个僵硬的系统并将步长驱向 0，这会导致求解器变慢。

如果您使用具有固定步长且步长为 1 天几分之一的求解器，则可以组合策略 1 和 2。然后，当日轮流的采样点作为（隐式）重新启动点使用新的常数。