这个双重嵌套循环的时间复杂度是多少？ [复制]

Question

嗨，我对跟随 sn-p 的时间复杂度有点困惑， 如果有人能阐明这一点，那就太好了。

     for ( i = 1; i <= n ; i ++)
        for ( j= i+1; j <= n; j++)
          //print something

Answer 1

在这种情况下，请记住这一点：

如有疑问，请由内而外！

让我们来看看你的代码：

 for ( i = 1; i <= n ; i ++)
    for ( j= i+1; j <= n; j++)
      //print something

这里，打印东西的成本是 Θ(1)（假设你总是打印同样的东西），所以我们可以这样重写这段代码：

 for ( i = 1; i <= n ; i ++)
    for ( j= i+1; j <= n; j++)
       do Θ(1) work

现在，让我们由内而外地工作。那个内循环要做什么？好吧，当 i = 1 时，它将运行 n - 1 次迭代。当 i = 2 时，它将运行 n - 2 次迭代。当 i = 3 时，它将运行 n - 3 次迭代。从这个意义上说，所做的工作是 Θ(n - i)，所以我们可以用这样的东西替换内部循环：

 for ( i = 1; i <= n ; i ++)
    do Θ(n - i) work

现在，让我们看看这个外部循环。第一次，这将做（大致）n - 1 个工作，第二次它会做 n - 2 个工作，第三次它会做 n - 3 个工作，等等。换句话说，总这里完成的工作（大致）等于

(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 3 + 2 + 1

这是一个著名的和，叫做Gauss's sum，它的值是n(n - 1) / 2，也就是Θ(n²)。因此，正如@Lashane 在他们的评论中指出的那样，这里完成的总工作是 Θ(n²)。