这个循环的时间复杂度是多少？答案

【问题标题】：What is the time complexity of this loop?这个循环的时间复杂度是多少？
【发布时间】：2015-06-17 19:35:15
【问题描述】：

如何确定这个循环的时间复杂度：

for(int i = N-1; i >= 0; i--)
{
    for(int j = 1; j <= i; j++)
    {
        if(numbers[j-1] > numbers[j])
        {
            temp = numbers[j-1];
            numbers[j-1] = numbers[j];
            numbers[j] = temp;
        }
    }
}

您可能已经注意到，这是冒泡排序算法。还有这个算法的比较和赋值的频率计数是一样的吗？

【问题讨论】：

“频率计数”是什么意思？
你的意思是时间复杂度，“大 O”时间？
是的，我的意思是时间复杂度，我不知道具体叫什么，但我想找到更具体的答案。

标签： algorithm time-complexity

【解决方案1】：

计算复杂度

您需要添加正在执行的基本操作/机器指令。（作为输入大小的函数）

计算

for(int i = N-1; i >= 0; i--)
{          |        |     |
           c1       c2    c3
   for(int j = 1; j <= i; j++)
   {       |        |     |
           c4       c5    c6
      if(numbers[j-1] > numbers[j])--c7
      {
         temp = numbers[j-1];
         numbers[j-1] = numbers[j];
         numbers[j] = temp;
      }
   }
}

c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7 是执行与这些结构相对应的机器指令的成本（如 i>=0,j

Now for i=N-1 the innerloop is executed N-1 times
    for i=N-2 the innerloop is executed N-2 times
    ....

    for i=0 the innerloop is executed 0 times

所以内部循环执行(N-1)+(N-2)+...1+0 次，即 = N*(N-1)/2

Look carefully the cost is
 = c1+ c2*(N+1) + c3*N+ c4*N+((N*(N-1)/2)+1)*(c5)+ (N(N-1)/2)*(c6+c7);
 = c1+c2+c5+ N*(c2+c3-(c5+c6+c7)/2) + N^2 * (c5/2 + c6/2 + c7/2)
 = c8 + N*c9 + N^2 *(c10)   [c8,c9,c10 are constants]

为什么我们将 N+1 与 c2 相乘？那是因为最后一次检查实际上是i=-1。

现在对于较大的 N 值，N^2 支配 N。所以时间复杂度是O(N^2)。所以，T(N)=O(N^2)

【讨论】：

为什么 c4 == c4*N 而不是 c4*(N*(N-1)/2) 的成本？ c4执行的次数不是和内循环一样多吗？
@Justin.：这就是 for 循环的工作原理——我们为循环索引变量初始化一次——而不是循环执行的每次迭代。这就是为什么c4*N。

【解决方案2】：

当前实现的复杂度在最佳和最坏情况下都是 O(n^2)，如果只计算比较、只计算分配或两者都计算，则相同。

这是详细的计算，K 是一个常数，具体取决于您要考虑哪些操作来考虑时间复杂度：

如果您想要更高效的冒泡排序算法，请查看Wiki page 或this answer 上的伪代码，您会发现最佳情况复杂度为 O(n) 的算法。

【讨论】：