两个二叉搜索树的朴素合并的时间复杂度

Question

我看到了一个很短的算法来合并两个二叉搜索树。我很惊讶它是多么容易而且效率很低。但是当我试图猜测它的时间复杂度时，我失败了。

让我们有两个包含整数的不可变二叉搜索树（不平衡），并且您希望将它们与伪代码中的以下递归算法合并在一起。函数insert为辅助：

function insert(Tree t, int elem) returns Tree:
    if elem < t.elem:
        return new Tree(t.elem, insert(t.leftSubtree, elem), t.rightSubtree)
    elseif elem > t.elem:
        return new Tree(t.elem, t.leftSubtree, insert(t.rightSubtree, elem))
    else
        return t

function merge(Tree t1, Tree t2) returns Tree:
    if t1 or t2 is Empty:
        return chooseNonEmpty(t1, t2)
    else
        return insert(merge(merge(t1.leftSubtree, t1.rightSubtree), t2), t1.elem)

我猜它是一个指数算法，但我找不到它的论据。这个合并算法最差的时间复杂度是多少？

Answer 1

让我们考虑一下最坏的情况：

在每个阶段，每棵树都处于最大不平衡状态，即每个节点至少有一个大小为 1 的子树。

在这种极端情况下，insert 的复杂度很容易显示为Ө(n)，其中n 是树中元素的数量，因为高度是~ n/2。

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基于上述约束，我们可以推导出时间复杂度为merge的递归关系：

其中n, m 是t1, t2 的大小。不失一般性地假定右子树总是包含单个元素。术语对应：

• T(n - 2, 1)：在t1 的子树上对merge 的内部调用
• T(n - 1, m)：在t2 上对merge 的外部调用
• Ө(n + m)：最后一次调用insert

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为了解决这个问题，让我们重新替换第一项并观察一个模式：

我们可以通过去掉第一项来解决这个和：

在步骤(*) 中，我们使用了变量更改替换i -> i + 1。当k = n:

时递归停止

T(1, m) 只是将一个元素插入到大小为m 的树中，这在我们假设的设置中显然是Ө(m)。

因此，merge 的绝对最坏情况时间复杂度为

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注意事项：

• 参数的顺序很重要。因此，将较小的树插入到较大的树中是很常见的（在某种意义上）。
• 实际上，在过程的每个 阶段，您极不可能拥有最大程度的不平衡树。一般情况下自然会涉及到半平衡树。
• 最佳情况（即始终完美平衡的树）要复杂得多（我不确定是否存在上述分析解决方案；请参阅gdelab 的回答）。

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编辑：如何评估指数和

假设我们要计算总和：

其中a, b, c, n 是正常数。在第二步中，我们将基数更改为 e（natural 指数常数）。通过这种替换，我们可以将ln c 视为变量x，对其进行几何级数，然后设置x = ln c：

但几何级数有一个封闭形式的解（一个不难推导的标准公式）：

因此我们可以将这个结果相对于x 微分n 次以获得Sn 的表达式。对于上面的问题，我们只需要前两个幂：

所以这个麻烦的术语是：

这正是 Wolfram Alpha 直接引用的内容。如您所见，这背后的基本思想很简单，尽管代数非常乏味。

Answer 2

精确计算非常困难，但在最坏的情况下它看起来不是多项式有界的（但这不是一个完整的证明，你需要一个更好的证明）：

• insert 在最坏的情况下具有复杂性O(h)，其中h 是树的高度（即至少log(n)，可能是n）。

• merge() 的复杂性可能是以下形式：T(n1, n2) = O(h) + T(n1 / 2, n1 / 2) + T(n1 - 1, n2)

• 让我们考虑F(n) 这样F(1)=T(1, 1) 和F(n+1)=log(n)+F(n/2)+F(n-1)。我们大概可以证明F(n) 小于T(n, n)（因为F(n+1) 包含T(n, n) 而不是T(n, n+1)）。

• 我们有F(n)/F(n-1) = log(n)/F(n-1) + F(n/2) / F(n-1) + 1

• 假设某些k 为F(n)=Theta(n^k)。然后是F(n/2) / F(n-1) >= a / 2^k 一些a>0（来自Theta 中的常量）。

• 这意味着（超出某个点n0）我们总是有F(n) / F(n-1) >= 1 + epsilon 用于一些固定的epsilon > 0，它与F(n)=O(n^k) 不兼容，因此是矛盾的。

  李>

• 所以F(n) 不是任何k 的Theta(n^k)。直观地，您可以看到问题可能不是Omega 部分而是big-O 部分，因此它可能不是O(n)（但从技术上讲，我们在这里使用Omega 部分得到a）。由于T(n, n) 应该比F(n) 更大，T(n, n) 不应该是多项式，而可能是指数...

但话说回来，这根本不严谨，所以也许我真的错了......