我正在阅读用于查找最小生成树（在加权图的情况下）和查找图是否具有哈密顿路径（取决于是否存在哈密顿循环）的算法。我把一切都搞砸了。那么汉密尔顿路径和生成树有什么区别呢？两者都覆盖了图中的所有顶点。虽然我们可以有有效的算法来找到生成树（可能是最小生成树），但为什么我们不能有找到哈密顿回路的算法呢？我们可以继续一次添加和删除一条边，直到达到一个循环，也许我们可以找到一个哈密顿循环？？
【问题讨论】：
标签： graph-theory hamiltonian-cycle spanning-tree
这两个问题完全不同。把最小生成树想象成连接地方的问题，在这些地方你只需要付一次钱来修路，但你可以随意使用它。很容易想出最便宜的道路配置（例如通过 Kruskal 的算法），让您可以从任何地方旅行到任何其他地方。
另一方面，哈密顿循环希望你最小化实际的旅行距离，即从一个地方到另一个地方的每一次移动都很重要。 （它还要求您永远不要访问一个地方两次，但这是一个小细节。）这个问题基本上是非本地的，因为您无法仅通过本地探索选项来判断您是否在做正确的事情下一步。相比之下，贪心 MST 算法保证在每一步都选择正确的下一条边添加到树中。
顺便说一句，没有人说“我们不能为 HP 提供有效的算法”。可能是我们还没有找到一个:-)
【讨论】：
两个问题都希望将所有顶点相互连接。
对于最小生成树，您不关心顶点 a 连接到哪个顶点，因此您只需将 a 连接到最近的顶点即可。 由于您只连接尚未连接的顶点，因此这会给出一棵树，并且您拥有自己的算法。
但是，对于哈密顿路径，您确实关心连接顶点 a 到哪个顶点（例如 b），因为您不能使用 b 再次（否则它不再是路径）。因此，为了确定应该将 a 连接到哪个顶点，您必须尝试所有可能性，看看会发生什么。 也就是说，目前还没有人找到一种有效的方法，这当然并不意味着没有。
【讨论】：
在汉密尔顿路径中，除源和汇之外的所有顶点的度数均为 2。对于 MST（或 ST，如果您愿意的话）不一定是这种情况。
【讨论】：
汉密尔顿路径，尤其是最小汉密尔顿循环对于解决旅行推销员问题（即最短行程）很有用。一个快速的解决方案看起来像希尔伯特曲线，一种特殊的空间填充曲线也用于降低空间复杂性和有效寻址。 mst 就像以最便宜的连接成本（即旅行）连接所有顶点，无论顺序或交叉。它有助于解决诸如寻找道路、寻找水渠、寻找互联网电缆等问题。
【讨论】：