哈密顿路径与最短路径答案

【问题标题】：Hamiltonian Path vs Shortest Path哈密顿路径与最短路径
【发布时间】：2013-02-04 14:55:19
【问题描述】：

在研究了这两个问题之后，我无法得出它们之间的区别。

哈密顿路径

哈密顿路径是图的两个顶点之间的路径，每个顶点只访问一次。给定一个图G 和两个不同的节点S 和E，在G 中是否存在从S 到E 的哈密顿路径？

我发现这个问题是 NP-Complete

最短路径

在图论中，最短路径问题是在图中找到两个顶点（或节点）之间的路径，使得其组成边的权重之和最小化的问题。这个问题是P

它们之间的实际区别是什么？以及它们的复杂度是如何计算的？

【问题讨论】：

对于汉密尔顿路径，如果不是“只访问每个顶点一次”而是说“访问图中的每个顶点，但只访问一次”，也许会更清楚。

标签： algorithm complexity-theory

【解决方案1】：

哈密顿路径问题实际上是在图中寻找最长的简单路径。不难看出，这两个问题基本上是等价的（最长简单路径和哈密顿路径）。这个问题确实是一个经典的 NP-Complete 问题。
它是 NP 完全的，因为从另一个（已经证明的）NP-Hard 问题到这个问题存在多项式归约，因此（从多项式归约的传递性）这个问题也是 NP-Hard。因为它也是NP，所以它是NP-Complete。

另一方面，最短路径是不同的，它问从A点到B点的最短路是什么，它在P中，因为有一个多项式时间算法可以解决它（Dijkstra's algorithm、Bellman-Ford、BFS 用于非加权图）。

关于"And how is there complexity calculated?" 我假设您的意思是我们如何确定它们的复杂性类 - 在这种情况下，最短路径在 P 中，因为我们有一个确定性多项式时间算法来解决它（上面提到的一些)，而哈密顿路径的复杂性类是 NP-Complete，因为它既是 NP-Hard（另一个已证明的 NP-Hard 问题存在多项式约简），又是 NP（我们可以在非确定性图灵的多项式时间内轻松解决它机器）。
请注意，我们不知道哈密顿路径是否在 P 中，因为我们不知道 P=NP。

【讨论】：

首先感谢您的回答。只是为了确保我理解所有内容，主要区别在于：Hamiltonian 路径问题（或最长路径问题）：访问图中的每个节点并且只访问一次很重要。 最短路径问题：它不限制我们访问一个节点的次数，也不要求访问每个节点。
@cgval：确切地说，准确地说，除非图中存在负循环（然后术语“最短路径”有问题），每个顶点最多访问一次（因为否则我们可以通过修剪一个循环来缩短路径），但不访问节点也可以。

【解决方案2】：

任意节点之间的最长路径和最短路径的区别在于，最短路径问题有一个最优子结构，因此可以用动态规划求解；最长路径问题没有最优子结构，无法使用动态规划求解。如果可以从其子问题的最优解构造最优解，则称该问题具有最优子结构。 example

如上图所示。从 q 到 t 的最短路径包括从 q 到 r 的最短路径。但是q到t的最长路径是q-r-t，q到r的最长路径是q-s-t-r，不包含在q-r-t中。这是因为最长路径的子问题不是相互独立的。从 q 到 r 的最长路径是 q-s-r-t。从 r 到 t 的最长路径是 r-q-s-t。这两个问题有重叠，所以它们不是独立的，所以这个问题没有最优子结构，所以不能用动态规划和贪心算法来解决。

【讨论】：

我忘了提到哈密顿路径可以简化为最长路径问题，如果你谷歌“最长路径问题”，维基页面会出来，它在解释上做得很好。
为什么我比较最长路径和最短路径，而不是哈密顿路径和最短路径。