棒材切割 - 动态规划答案

【问题标题】：Rod Cutting - Dynamic Programming棒材切割 - 动态规划
【发布时间】：2016-07-22 09:14:21
【问题描述】：

问题陈述

截杆问题如下。给定长度为n 英寸的杆和i = 1, 2, 3,....n 的价格表Pi，确定通过切割杆并出售碎片可获得的最大收入Rn。请注意，如果长度为n 的杆的价格Pn 足够大，则最佳解决方案可能根本不需要切割。

考虑n=4的情况。图中显示了切割 4 英寸长杆的所有方法，包括完全不切割的方法。我们看到，将一根 4 英寸的棒切成两根 2 英寸的小块会产生收入P2+P2=5+5=10，这是最优的。

下面的代码是一种自下而上的方法来构建切割棒的解决方案。

for (i = 1; i<=n; i++)
{
   int q = INT_MIN;
   for (j = 0; j < i; j++)
       q= max(q, p[j] + r[i-j-1]);
   r[i] = q;
}
return val[n];

为什么我们需要一个辅助数组r[n+1]？难道仅仅使用数组p就不能解决问题吗？使用它是因为我们在切割杆长度 n 和 0 时无法访问 p[-1] 吗？为什么我们在 p 没有更新为新值时使用q = max(q, p[j] + r[i-j-1])？

【问题讨论】：

请附上切杆问题的定义以避免误解。
添加了一个例子。
内循环中的-1 让我有点困惑。
据我了解，p 是输入的一部分，不能被覆盖；内部循环的每次迭代都需要原始数据。
return val[n]; 没有任何意义——n 只是杆的长度，val 没有在其他任何地方提及。

标签： algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

您应该使用两个不同的数组r 和p，因为它们的含义完全不同。 p[i] 的值告诉您，长度为 i+1 的完整（未切割）板的成本是多少。 r[i] 的值告诉您，使用长度为 i+1（完整或切成小块）的棋盘可以赚取多少利润。这些值不一样。例如，在您的示例中，您有p[3] = 9，但有r[3] = 10，因为您可以将长度为4 的板切割成长度为2 的两个较小的部分。将两种不同的含义保存在不同的数组中总是一个好主意。（除非你有非常严格的内存限制）

此外，在实践中，您可能不会出售长度为 100 的木板。但您可能想知道通过切割这种尺寸的木板可以获得的最佳利润。如果你只有一个数组，你将不得不扩大它。根据您的语言选择，这也可能涉及创建第二个数组并复制第一个数组。因此，简单地使用第二个数组会更容易。

请注意，这是可能的（如果n 小于数组p 的长度）。仅使用一个数组的简单解决方案是（使用单索引）：

int p[]={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    for (int j = 1; j <= i/2; j++)
        p[i] = max(p[i], p[j] + p[i - j]);
}
printf("%d\n", p[n]);

【讨论】：

进一步，j 只能迭代一半。

【解决方案2】：

如果我正确理解了这个问题，那么就不可能从实现中删除r。显然r 的语义是

r[i] = maximum profit attainabble by cutting a rod of length i
       into pieces of the lengths 1,...,n

它需要在内部循环中访问。内循环中的递归关系转化为

q = the more profitable choice between not cutting a rod of length j
    and cutting a rod of length j (in which case we take p[j] as
    profit plus the maximum attainable profit of cutting the remaining
    rod, which has length j-i)

这意味着r中的信息是评估所必需的。

【讨论】：

我没有使用r就实现了它。但一直不明白为什么在前面的案例中使用了r。
请展示没有r的实现；如果它是正确的，那么信息一定是在某个地方。
已将其添加为答案。

【解决方案3】：

在内循环中不使用辅助数组且只迭代一半的棒切割问题。

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}

int cut_rod(int p[],int n)
{
    int q=0;
    int r[n+1];   // Auxiliary array for copying p and appending 0 at index 0
    int i,j;

    if(n<0)
        return 0;
    else
    {
        r[0]=0;
        for(i=0;i<n;i++)
            r[i+1]=p[i];
        for(i=1;i<=n+1;i++)
        {
            q=INT_MIN;
            for(j=0;j<=i/2;j++)
                q=max(q,r[j]+r[i-j-1]);
            r[i-1]=q;
        }
    }
    return r[n];
}

int main()
{
    int p[]={1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
    int n=sizeof(p)/sizeof(int);
    int val;

    val=cut_rod(p,n);
    printf("%d",val);

    return 0;
}

【讨论】：