关于棒材切割算法的困惑——动态规划

Question

我最近看到了一个棒材切割问题，其中 B(i) = 切割长度为 i 单位的棒材的最优价格，p(i)​​ = 长度为 i 单位的棒材的价格。

给出的算法是这样的： B(i) = max(1

不应该是这样的吗： B(i) = max(1 其中 B(1) = p(1);

这样两部分都具有最佳成本，而不是单个杆的成本和第二部分的最佳成本。

for example: B(4) = max{ (B(1) + B(3)); (B(2) + B(2)) }

instead of max{ (p(1) + B(3)); (p(2) + B(2)); (p(3) + B(1)) }

有人可以解释一下吗？

Answer 1

其实这个公式是对的。你有 B(i) = max(1i 的绳索。如果你要剪断它，那么你将剪断一段长度k，其中 k 在1 和i 之间，然后继续剪断绳子的剩余部分。因此，总体而言，您需要花费 p(k)（削减您决定不再削减的初始部分的价格）和削减剩余 B(i-k) 的价格。这正是公式的作用。

您的解决方案也可以完成这项工作，但它有一个小缺点 - 每个子问题的解决方案取决于两个（而不是一个）更简单的子问题的解决方案。我相信正因为如此，它的平均表现会更差。当然，有一个子问题取决于几个更简单的问题，这不是禁止或错误的。

Answer 2

让我们假设长度为i的杆的最优价格将通过将杆切割成长度为l1, l2, .., lp的p部分得到i= l1+ l2 +..+ lp和l1<l2<l3<…<lp（为简单起见）。

最优解中存在长度为l1的杆件意味着如果将长度为l1的杆件进一步分解成更小的块，则长度为l1的杆件的价格将会下降。因此，对于长度为l1 的杆件，我们可以说是b[l1] = p[l1]。同样我们已经建立，b[l2] = p[l2], b[l3]= p[l3], ….., b[lp]= p[lp]. => b(i) = b(l1) + b(l2) +..+ b(lp) 是最优的………………..Condition 1

现在考虑长度为l1+l2 的杆的情况。声称b(l1+l2) = b(l1) + b(l2) 是最佳的。让我们假设情况并非如此。存在L 使得b(l1+l2) = b(L) + b(l1+l2-L) 是最优的。这意味着存在长度为L 和(l1+l2-L) 的杆，使得：

• b(L) + b(l1+l2-L)>b(l1)+b(l2).
• => b(l1) + b(l2) + b(l3) +..+ b(lp) < b(L) + b(l1+l2-L) +b(l3) +…+ b(lp).
• =>这是一个矛盾{见条件1}
• => b(l1+l2) = b(l1) + b(l2) 是最佳的
• => 同样，b(l2+l3+l4) = b(l2) + b(l3) + b(l4) 是最优的，以此类推。

现在我们有一个重复出现b(i) = b(k) + b(i-k) for 1<=k<i。

• 发给k=l1, b(i) = b(l1) + b(i-l1) = p[l1] + b(i-l1)。
• 为k=l1+l2, b(i) = b(l1+l2) + b(i-l1-l2)
  • = b(l1+l2) + b(l3 + l4 +…+lp)
  • = [b(l1) + b(l2)] + b(l3 + l4 +…+lp)
  • = b(l1) + [b(l2) + b(l3 + l4 +…+lp)]
  • = b(l1) + b(l2+l3+l4+…+lp)
  • = b(l1) + b(i-l1)
  • = p[l1] + b(i-l1)
• 或k= l1+l2, b(i) = p[k’] + b(i-k’)k’=l1。

所以总结一下，如果我们想找到长度为i的杆的最优解，我们尝试将长度为i的杆分解为长度为(l1+l2)和(i-l1+l2)的两部分，然后我们递归找到两个杆件的最优解，我们最终找到长度为l1 的最优杆件和长度为i-l1 的杆件的最优解。因此我们可以说：

b(i) = b(k) + b(i-k ) = p[k’] + b(i-k’) for 1<=k,k’<i.

Answer 3

公式是正确的。我认为当我们认为两个公式都可以替换另一个时，就会出现混淆。
虽然他们计算相同的现象，但它是通过两种不同的方式完成的：

令，B(i) = 切割长度为 i 单位的棒的最优价格，并且 p(i) = 长度为 i 单位的杆的价格。

公式 1：B(i) = max(1

公式 2：B(i) = max(1

考虑一根长度为 4 的杆， 它可以通过以下方式切割：

1) 长度为 4 的未切割

2) 3, 1

3) 2, 2

4) 2、1、1

5) 1、3

6) 1、2、1

7) 1、1、2

8) 1、1、1、1

根据公式1：

选项1对应P(4)

选项 2,5,6,7,8 对应 B(1) + B(3)

选项 3,4,6,7,8 对应 B(2) + B(2)

根据公式2：

选项1对应P(4)

选项2对应P(3) + B(1)

选项 3,4 对应于 P(2) + B(2)

选项 5,6,7,8 对应 P(1) + B(3)

总而言之，1 和 2 计算的是最优解，但方式不同，与 1 相比，2 更紧凑，递归调用更少。