邻接表中的图形入度计算答案

【问题标题】：Graph In-degree Calculation from Adjacency-list邻接表中的图形入度计算
【发布时间】：2014-04-08 07:28:05
【问题描述】：

我遇到了这个问题，它需要根据邻接表表示来计算图的每个节点的入度。

for each u
   for each Adj[i] where i!=u
     if (i,u) ∈ E
         in-degree[u]+=1

现在根据我的说法，它的时间复杂度应该是O(|V||E|+|V|^2)，但我提到的解决方案将其描述为等于O(|V||E|)。

请帮忙告诉我哪一个是正确的。

【问题讨论】：

标签： algorithm graph asymptotic-complexity

【解决方案1】：

计算入度的复杂度不是 O(|V||E|)，而是 O(|E|)。让我们考虑以下用于计算每个节点的入度的伪代码：

for each u
  indegree[u] = 0;

for each u
  for each v \in Adj[u]
    indegree[v]++;

第一个循环的线性复杂度为 O(|V|)。对于第二部分：对于每个 v，最里面的循环最多执行 |E|次，而最外层循环执行 |V|次。因此，第二部分似乎具有复杂性 O(|V||E|)。实际上，代码对每条边执行一次操作，因此更准确的复杂度是 O(|E|)。

【讨论】：

我不太清楚。第二部分的外循环必须执行|V|次，我们不能避免它对吗？我可以知道怎么做 O|VE|变成 O|E| ?
是的，外循环一定要执行|V|次，但内部循环的执行取决于与该顶点相邻的边数。这将小于 |E| （不包括完整的图表案例）。为了可视化这一点，请将查找入度视为查看所有边缘。所以复杂度是成正比的，图中边的数量是 O(|E|)
嗨，它应该是 O(|E|) 的推理似乎很好。但正如你所说，外循环确实运行 |V|次。那么，在进行复杂度计算时，我们是否没有考虑到没有发生任何事情的循环？像for i in (0,n): do nothing 的复杂性为n 或1？
另外，复杂度应该是O(|E|)还是O(|E| + |V|)，因为我们需要至少访问Adj(G)中的所有顶点行一次？

【解决方案2】：

根据http://www.cs.yale.edu/homes/aspnes/pinewiki/C(2f)Graphs.html，第 4.2 节，使用邻接表表示，

查找节点 u 的前任非常昂贵，需要在 O(n+m) 时间内查看每个节点的每个列表，其中 m 是边的总数。

因此，在此处使用的符号中，计算节点入度的时间复杂度为O(|V| + |E|)。

但是，这可以通过使用额外空间来减少额外空间。 Wiki 还指出

添加具有反向边的图的第二个副本可以让我们在 O(d-(u)) 时间内找到 u 的所有前任，其中 d-(u) 是 u 的入度。

实现此方法的包的一个示例是 Python 包Networkx。从有向图的DiGraph 对象的constructor 可以看出，networkx 跟踪self._succ 和self._pred，它们是表示继承者和的前身的字典每个节点，分别。这允许它有效地计算每个节点的in_degree。

【讨论】：

【解决方案3】：

O(|V|+|E|) 是正确答案，因为您访问了 O(|V|) 中的每个顶点，并且每次访问边的一部分，所以总共 O(|E|)，通常也是 |E|>>|V|，所以 O(|E|) 也是正确的

【讨论】：