O(|V| * k) 是否等于 O(|E|)？

Question

我假设在表示邻接表时，我们需要遍历所有顶点及其邻居，因此构建邻接表的时间复杂度为 O(|V| * k) 其中 V 是顶点的集合，k是某个顶点具有的邻居数（如果图完整，则 k = |V| - 1）。然而，我遇到的每个资源都表明构建邻接表的时间复杂度是 O(|E|)，其中 E 是边的集合。

由于我们正在考虑最坏情况，因此图的最坏情况是连通图，其中 |E|等于 (|V| 2) = (|V| * (|V|-1))/2。如上所述，从完整图构建邻接列表需要遍历所有顶点及其邻居。该操作的时间复杂度为 |V| * k 其中 k 是 |V|-1。所以，它应该是 O(|V| * (|V|-1)) => O(|V|^2)。 既然我们发现边数是(V * (V-1)) / 2 => O(|V|^2)，那么两个复杂度O(|V| * k)和O(|E| ) 应该是一样的。

让我困惑的是为什么人们更喜欢使用 O(|E|) 而不是 O(|V| * k)？

Answer 1

O(|V| * k) 是否等于 O(|E|)？

是的。

其中 V 是顶点的集合，k 是某个顶点的邻居数

这个定义是不正确的，因为 k 取决于 "the certain vertex"` 所以你需要将它定义为最大度数（一个顶点的最大边数），以便有一个可用的定义。

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注意max-degree，O(maxdeg * |V|) 不等于O(|E|)。最大度数是比|E| 更差的复杂度近似值。

想象一下一个图，其中一个顶点有1_000 边，但其他所有顶点只有1 边。

但是由于Big-O只定义了上界，算法当然还是在O(maxdeg * |V|)中。

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在任何情况下，您最多只能在图中的每条边上查看一次，所以|E|。边的数量是所有顶点的所有出边的总和，即您试图用|V| * k 制定的内容。所以两者是完全一样的。即

|E| = sum (v * outdegree(v))

（k 在这种情况下不是最大度数，而是每个v 特定的出度数）

让我困惑的是为什么人们更喜欢使用 O(|E|) 而不是 O(|V| * k)？

一般而言，将图视为具有顶点和边的实体更为常见，其操作取决于V 和E。只说O(|E|) 比从“顶点及其出边”角度来看待事情过于复杂化要简单得多。