(log n)^k = O(n)? For k greater or equal to 1.
我的教授在课堂上向我们展示了这个陈述，但是我不确定时间复杂度为 O(n) 的函数意味着什么。即使像n^2 = O(n^2) 这样的东西，函数 f(x) 怎么会有运行时复杂度？
至于语句如何等于O(n)而不是O((logn)^k)？
【问题讨论】：
标签： big-o notation logarithm proof
(log n)^k = O(n)?
是的。 big-Oh 的定义是，如果存在正常数 N 和 c，则函数 f 在 O(g(n)) 中，因此对于所有 n > N：f(n) <= c*g(n)。在这种情况下，f(n) 是 (log n)^k 和 g(n) 是 n，所以如果我们将其插入到定义中，我们会得到：“存在常量 N 和 c，这样对于所有 n > N：(log n)^k <= c*n” .这是真的，所以(log n)^k 在 O(n) 中。
函数 f(x) 如何具有运行时复杂度
它没有。 big-Oh 表示法没有什么是特定于运行时复杂性的。 Big-Oh 是一种对函数增长进行分类的符号。我们谈论的函数通常衡量某些算法的运行时间，但我们可以使用 big-Oh 来谈论任意函数。
【讨论】：
f(x) = O(g(x)) 表示f(x) 增长较慢或与g(x) 相当。
从技术上讲，这被解释为“我们可以找到一个 x 值 x_0 和一个比例因子 M，因此 f(x) 的大小超过 x_0 小于g(x)。”或数学：
|f(x)| < M |g(x)| for all x > x_0.
所以对于你的问题：
log(x)^k = O(x)? 正在询问：是否存在 x_0 和 M 使得
log(x)^k < M x for all x>x_0.
这种M 和x_0 的存在可以使用各种极限结果来完成，并且使用L'Hopitals 规则相对简单.. 但是它可以在没有微积分的情况下完成。
我能想出的不依赖 L'Hopitals 规则的最简单证明使用泰勒级数
e^z = 1 + z + z^2/2 + ... = sum z^m / m!
使用z = (N! x)^(1/N)我们可以看到
e^(x^(1/N)) = 1 + (N! x)^(1/N) + (N! x)^(2/N)/2 + ... (N! x)^(N/N)/N! + ...
对于 x>0，所有项都是正数，所以只保留我们得到的第 N 个项
e^((N! x)^(1/N)) = N! x / N! + (...)
= x + (...)
> x for x > 0
取两边的对数（因为log是单调递增的），然后升到N次方（也是从N>0单调递增的）
(N! x)^(1/N) > log x for x > 0
N! x > (log x)^n for x > 0
这正是我们需要的结果，(log x)^N < M x 用于一些 M 和所有 x > x_0，M = N! 和 x_0=0
【讨论】：