为什么 BFS/DFS 的时间复杂度不仅仅是 O(E) 而不是 O(E+V)？答案

【问题标题】：Why is time complexity for BFS/DFS not simply O(E) instead of O(E+V)?为什么 BFS/DFS 的时间复杂度不仅仅是 O(E) 而不是 O(E+V)？
【发布时间】：2015-01-01 05:42:33
【问题描述】：

我知道堆栈溢出有一个类似的问题，有人问，为什么 BFS/DFS 的时间复杂度不只是 O(V)。

给出的适当答案是，在完整图的情况下，E 可以与 V^2 一样大，因此将 E 包含在时间复杂度中是有效的。

但是，如果 V 不能大于 E+1。那么，在那种情况下，时间复杂度没有 V，应该可行吗？

【问题讨论】：

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标签： graph time-complexity depth-first-search breadth-first-search

【解决方案1】：

如果给定E = kV + c，对于一些实常数k 和c 那么，
O(E + V) = O(kV + c + V) = O(V) = O(E) 并且你的论点是正确的。

树就是一个例子。

一般而言（即，没有任何先验信息），但是，E = O(V^2)，因此我们不能比O(V^2)做得更好。

为什么不总是只写 O(E)？

编辑：总是写O(E + V) 的主要原因是为了避免歧义。

例如，可能存在图中根本没有边的情况（即O(E) ~ O(1)）。即使在这种情况下，我们也必须前往每个顶点 (O(V))，我们无法在 O(1) 时间内完成。

因此，一般只写O(E) 是不行的。

【讨论】：

那么，我可以简单地说 O(E) 作为 BFS 的时间复杂度吗？
@Sandy 仅在满足上述条件时。在一般情况下，可能没有边，但你仍然必须去每个顶点，因此我们写O(V + E)。
当你无法通过边找到它们时，你将如何“去每个顶点”？这个答案不正确。
@MattTimmermans for source in V: dfs(source)。在|E| = 0 的图中，这个循环的时间复杂度是多少？
@axiom 没有人询问从每个可能的顶点运行搜索。

【解决方案2】：

必须包含 V，因为 BFS 和 DFS 都依赖于大小为 |V| 的数组。跟踪哪些顶点已被处理/发现/探索（无论情况如何）。如果一个图有 0 条边和 100000 个顶点，那么与只有 5 个顶点的情况相比，这样的数组仍然需要更多的时间来初始化。因此，BFS 和 DFS 的时间复杂度在 |V| 上扩展。

【讨论】：

您可以使用哈希表而不是数组来实现 BFS 或 DFS，因此初始化需要 O(1) 时间而不是 O(V)。
你的意思是把每个顶点插入到哈希表中（即把它用作从顶点到布尔值的无序映射）？
哈希表中的键是访问过的顶点；当且仅当它存在于哈希表中时才会访问顶点。这样，您可以从一个空的哈希表开始（即尚未访问任何顶点），并且您不必将每个顶点显式标记为“尚未访问”。我认为哈希表是无序集而不是地图的实现，但是如果有不同的状态（例如，访问前与访问后），那么地图可能会更有用。
@kaya3 你的哈希表有多大？你初始化了吗？ :) OK OK，如果您使用动态增长的哈希表，那么 BFS 的复杂性预计为 O(E) 而不是 O(V+E)。这不是通常的实现，而且有充分的理由。
@MattTimmermans 如果您使用的是用于内置集合类型的数据结构的高级语言编写，那么使用动态增长的哈希表来实现 BFS 和 DFS 是很常见的。例如，“深度优先搜索 python”的前三个 Google 结果中的两个初始化visited = set()，链接here 和here。