作为 N 的函数，以下代码片段的最坏情况运行时间的增长顺序是多少？答案

【问题标题】：What is the order of growth of the worst case running time of the following code fragment as a function of N?作为 N 的函数，以下代码片段的最坏情况运行时间的增长顺序是多少？
【发布时间】：2014-09-07 04:34:37
【问题描述】：

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= N; i = i*2)
    for (int j = 1; j <= N; j = j*2)
        for (int k = 1; k <= j; k++)
            sum++;

根据解决方案是 NlogN。但是，我认为这只是 logN。 i for 循环迭代 logN 次，因为每次迭代 i 加倍。 j for 循环与i for 循环相同，因此它也会迭代 logN 次。最后是k for 循环，因为它被设置为小于或等于j，它将迭代j 的相同次数，因此，我们还有另一个logN 迭代。将三者相乘，我们得到 logN * logN * logN 总迭代次数或 (logN)^3 的复杂度。为什么我的思维过程不正确？

【问题讨论】：

标签： big-o complexity-theory

【解决方案1】：

sum++;

这显然是 O(1)

for (int k = 1; k <= j; k++)
    sum++;

循环运行j 次，所以是O(j)

for (int j = 1; j <= N; j = j*2)
    for (int k = 1; k <= j; k++)
        sum++;

所以这变得很棘手。我们知道内循环是O(j)，但j 在外循环中正在发生变化。你说：

最后是k for循环，因为设置为小于等于j，所以会迭代j的次数相同

没有。 j 循环按双打计数。但是内部循环是按增量计算的。他们不会进行相同数量的迭代。

由于每个内部循环在 O(j) 时间内运行，我们只需对循环中的每个时间求和 j。 j 每次翻倍，这样就给了我们：

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + n

这个序列最终会略小于 2n。（为什么留给读者作为excersize。）因此它的O(n)

for (int i = 1; i <= N; i = i*2)
    for (int j = 1; j <= N; j = j*2)
        for (int k = 1; k <= j; k++)
            sum++;

外部循环不与内部循环交互，并运行log(N) 次给我们O(N log N)

【讨论】：

您是如何立即知道将每个循环的运行时间相加得出1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + n？是因为您从经验中知道，还是有一种快速的方法可以解决这个问题？
@JustinLiang，内部循环运行j 次。 j是1，第一次，2第二次，4第三次等等。我只是按照程序的逻辑。
对，但是 j 循环不是运行 logN 次吗？ i 循环也是如此。所以我们应该有 N log^2(N)？
@JustinLiang，问题是k 循环。在某些情况下它运行一次，而在其他情况下运行N 次。结果平均运行 O(N / log N) 次。所以你不能逃脱只是将N 乘以它。您必须考虑到j 正在发生变化。

【解决方案2】：

使用 Sigma 表示法，您最终可能会有条不紊地得到精确的公式：

【讨论】：