有多少个不同的有根无标签二叉树正好有 9 个节点并且是左重的？

Question

我知道使用第 n 个加泰罗尼亚数字可能有多少棵树，但不知道如何找到左重树。有什么技巧吗？

Answer 1

答案是：2357

我在这里提供了一种合理的方法（不涉及编程）和代码来产生相同的结果，但通过一种更暴力的方法。

A.推理

直观地说，通过排除来计算似乎更容易。所以这导致了这种方法：

• 计算所有具有 9 个节点的二叉树。正如您已经指出的，这对应于第 9^th 加泰罗尼亚数字。这是C₉ = 4862。
• 减去根平衡的树的数量，即根的两个子树具有相等的高度（我们将这些子树称为 L 和 R）。这给了我们左重或右重的树的数量。
• 由于左重树与右重树一样多，因此将此结果除以 2 以获得最终结果。

所以现在我们可以专注于计算第二个要点中提到的数字：

计算在根处严格平衡的树

高度为 2 的树最多有 7 个节点（当它已满时），因此高度至少需要为 3。高度为 5 的树（在根处平衡）至少需要 5 个节点A（在单个路径上），和在 B 中的 5 个（也在单个路径上），所以高度不能超过 4。因此我们只有两种可能性：在根中平衡的 9 节点二叉树的高度是 3 或 4。

让我们分别处理这两种情况：

1。当树的高度为3时

在这种情况下，我们有一棵有 4 层的树。让我们分析每个级别：

前两层有 3 个节点：根及其两个子节点。

第三层是可能存在一些变化的第一层：该层有 2 到 4 个节点。让我们一一处理这三种情况：

1.a 第三层有2个节点

这里第三层在L中有一个节点，在R中有一个节点。每个都可以是其父级的左子或右子。所以两边都有两种可能性：2x2 = 4 种可能性。

第四层不可能有变化：剩下的四个节点是第三层两个节点的子节点。

可能性：4

1.b 第三级有3个节点

有 4 种方法可以从第三级的四个可用位置中选择三个位置。 L 或 R 都只能得到一个节点。我们称这个节点为 x。

在第四层，我们需要分配剩下的三个节点，使得 L 和 R 至少得到其中一个。这在 x 得到一个或两个孩子时实现。

• 当 x 有两个子节点时，剩下的另一个节点有 4 个可能的位置。在这里，您可以看到这 4 个浅灰色的位置：

• 当x得到一个孩子时，可以是左孩子也可以是右孩子，其余两个节点可以占据四个可用位置（见上图）有 6 种方式：2x6=12。

所以给定第三级的选择，第四级有 4+12=16 种可能的配置。

将此与第三层的可能性结合起来，我们得到 4x16：

可能性：64

1.c 第三级有4个节点

因此第三层已满。第四层剩下的两个节点需要在L和R之间分割，所以每个节点有4个可能的位置。这总共给出了 4x4 = 16 种可能性。

可能性：16

2。当树高为4时

当高度为 4 时，结果 L 和 R 每个只有一个叶子：它们是每个有 4 个节点的 链。这是使根严格平衡和获得高度4的唯一方法。

L 的根节点没有选择（它是根的左孩子），但是从那里开始，L 中的每个下一个后代都可以其父级的左子或右子。 L 的形状因此有 2³ 种可能性 = 8。考虑到 R 的形状相同，我们总共有 8x8 = 64 种形状。

可能性：64

总计

综合以上所有因素，我们有 4+64+16 + 64 = 148 种可能的形状，可以得到具有平衡根的树。

因此，应用顶部列出的方法，具有 9 个未标记节点的左重二叉树的总数为 (4862-148)/2 = 2357

B.代码

为了使这成为一个编程挑战，这里是一个 JavaScript 实现，它定义了以下函数：

• countTreesUpToHeight(n, height)：计算所有具有 n 个节点且不高于 的二叉树。使用递归。

• countTreesWithHeight(n, height)：计算所有具有 n 个节点且具有 恰好 给定高度的二叉树。使用前面的函数。

• countLeftHeavy(n)：主函数。使用其他两个函数计算根的左子树高于右子树的所有组合。

所以这种方法不像上面的排除方法。它实际上计算了感兴趣的组合。输出是一样的。

function countTreesUpToHeight(n, height) {
    if (n > 2**(height+1) - 1) return 0; // too many nodes to fit within height
    if (n < 2) return 1;
    let count = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        count += countTreesUpToHeight(i, height-1) 
               * countTreesUpToHeight(n-1-i, height-1);
    }
    return count;
}

function countTreesWithHeight(n, height) {
    return countTreesUpToHeight(n, height) - countTreesUpToHeight(n, height-1);
}

function countLeftHeavy(n) {
    let count = 0;
    // make choices for the height of the left subtree
    for (let height = 0; height < n; height++) {
        // make choices for the number of nodes in the left subtree
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            // multiply the number of combinations for the left subtree 
            //   with those for the right subtree 
            count += countTreesWithHeight(i, height-1)
                   * countTreesUpToHeight(n-1-i, height-2);
        }
    }
    return count;
}

let result = countLeftHeavy(9);
console.log(result);               // 2357