给定一个数 n，有多少个平衡二叉树（不是二叉搜索树）？答案

【问题标题】：Given a number n, how many balanced binary trees (not binary search trees) are there?给定一个数 n，有多少个平衡二叉树（不是二叉搜索树）？
【发布时间】：2014-03-22 19:37:06
【问题描述】：

本题中balanced的定义是

它的左子树的节点数和它的节点数右子树几乎相等，这意味着它们的差异不大于一

如果给定一个n作为节点总数，有多少这样的树？

如果我们用height 替换the number of nodes 会怎样？给定height，有多少棵高度平衡的树？

【问题讨论】：

家庭作业？尝试为具有 2*N 和 2*N+1 个节点的树的数量写下一个循环公式（也用于高度为 h+1 的树的数量）。您可能需要考虑具有 N=2^k-1 个节点的树的数量。
@n.m.不，这不是家庭作业，只是自我提升。是的，我试过了，但它是两种场合的组合。我想知道是否有一个独特的方程，我给出 n 并直接得到 ans
@Jackson - 您的所有条件似乎都类似于 AVL 树。你说的是 AVL 树吗？
@arunb2w AVL树是第二种定义，高度差最多为1，而不是初始定义的节点数最多相差1。

标签： algorithm data-structures tree binary-tree binary-search-tree

【解决方案1】：

好吧，差异只会在最后一级产生，因此您只需找出应该为该一级留下多少节点，并考虑所有可能的组合。拥有n 节点，您知道高度应该是floor(log(n))，因此深度k = floor(log(n)) - 1 的同一棵树是完全平衡的，因此您知道需要（m = sum(i=0..k)2^i）节点，因此n-m 节点留给最后一级。平衡二叉树的一些定义强制“所有节点左对齐”，在这种情况下，很明显只有一种可能性，没有这个约束你有2^floor(log(n))的组合选择n-m，因为你有选择您将分配给节点的2^floor(log(n)) 可能插槽中的哪个，强制分配总共n-m 节点。

对于身高故事，您考虑2^floor(log(n)) 选择i 的组合总和，因为i 从1 变为2^floor(log(n))。您考虑在最后一级有 1 个节点，然后是 2 个节点的所有可能性，直到您没有使其成为完全平衡的二叉树，因此分配了所有 2^floor(log(n)) 插槽。

【讨论】：