具有 n 个叶节点的二叉树的最小/最大深度是多少？

Question

我知道带有nnodes的二叉树的最大深度是n-1

我知道带有nnodes的二叉树的最大深度是floor(log2n)

但是如果我只知道叶节点的数量呢？

Answer 1

二叉树有两个理想。

理想的“最深”树。

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   *
    *
     a 

这棵树显然包含一个叶子节点，并且可能有无限数量的中间节点。这意味着一个叶节点的最大深度是无限的（除非您的问题需要具有多个子节点的内部节点）

理想的“最浅”树

          *
      *       *
    *   *   *   *
   a a a a a a a a

这棵树显然包含2^(depth-1) 叶子（对于深度为 1 或更大的树），并且通过数学的魔力将具有log(base2)(leaves) = depth-1 或1+log(base2)(leaves) 的深度。由于我们不能有分数深度，所以它必须与ceil(1+log(base2)(leaves)) 对齐

为了测试这个，让我们建立一个表

leaves formula                        depth
  1    ceil(1+log(base2)(1)) => ceil(1+0) => ceil(1) => 1
  2    ceil(1+log(base2)(2)) => ceil(1+1) => ceil(2) => 2
  3    ceil(1+log(base2)(3)) => ceil(1+1.58) => ceil(2.58) => 3
  4    ceil(1+log(base2)(4)) => ceil(1+2) => ceil(3) => 3
  5    ceil(1+log(base2)(5)) => ceil(1+2.32) => ceil(3.32) => 4

等等。

因此，具有 n 个节点（其中 n > 0）的树的深度范围是

[ceil(1+log(base2)(n)), infinity)

除非对最深的树有更强的约束，例如“每个内部节点必须有两个兄弟姐妹（或类似的东西）”