在 Mathematica 中找到微分方程解的零点答案

【问题标题】：Find zeros for solutions to differential equations in Mathematica在 Mathematica 中找到微分方程解的零点
【发布时间】：2011-10-02 00:47:17
【问题描述】：

给定以下代码：

s := NDSolve[{x''[t] == -x[t], x[0] == 1, x'[0] == 1}, x, {t, 0, 5 }]
Plot[Evaluate[{x[t]} /. s], {t, 0, 3}]

这绘制了微分方程的解。我将如何数值求解 x[t] 的零，其中 t 介于 0 和 3 之间？

【问题讨论】：

标签： wolfram-mathematica differential-equations

【解决方案1】：

@rcollyer 回答了最初的问题。我正在回答您在对 rcollyer 的回答的第一条评论中发布的问题：

但是如果我们的 s 改为 "s := NDSolve[{x'[t]^2 == -x[t]^3 - x[t] + 1, x[0] == 0.5}, x, {t, 0, 5}]" 然后 FindRoot 函数只返回一个错误，而绘图显示在 0.6 左右有一个零。

所以：

s = NDSolve[{x'[t]^2 == -x[t]^3 - x[t] + 1, x[0] == 0.5}, 
             x, {t, 0, 1}, Method -> "StiffnessSwitching"];
Plot[Evaluate[{x[t]} /. s], {t, 0, 1}]
FindRoot[x[t] /. s[[1]], {t, 0, 1}]

{t -> 0.60527}

编辑

回答rcollyer的评论，“第二行”来自平方导数，如：

s = NDSolve[{x'[t]^2 == Sin[t], x[0] == 0.5}, x[t], {t, 0, Pi}];
Plot[Evaluate[{x[t]} /. s], {t, 0, Pi}]

来自：

DSolve[{x'[t]^2 == Sin[t]}, x[t], t]
(*
{{x[t] -> C[1] - 2 EllipticE[1/2 (Pi/2 - t), 2]}, 
 {x[t] -> C[1] + 2 EllipticE[1/2 (Pi/2 - t), 2]}}
*)

【讨论】：

第二行从何而来？

【解决方案2】：

FindRoot 有效

In[1]:=  FindRoot[x[t] /. s, {t, 0, 3}]
Out[1]:= {t -> 2.35619}

【讨论】：

但是如果我们的 s 是 "s := NDSolve[{x'[t]^2 == -x[t]^3 - x[t] + 1, x[0] == 0.5}, x, {t, 0, 5}]" 然后 FindRoot 函数只返回一个错误，而绘图显示在 0.6 左右有一个零。
@LiKun，我没提，但这里使用:=(SetDelayed)没有任何意义。每次访问s 时，它都会重新执行NDSolve，但对于您的系统，这不是必需的。改用=(Set)，那么s只会被执行一次。
@LiKun 是什么错误？看起来有一个奇点可能导致错误
@FooBah，不可能有奇点，它是一个二阶线性微分方程，有通解a Sin[t] + b Cos[t]。
@rcollyer 我指的是你的第二部分：x'[t]^2 == -x[t]^3 - x[t] + 1