O(nlogn) 分治算法计算矩形的并集

Question

我知道这里有很多与我的问题相关的问题，但我仍然感到困惑。而且我是计算几何的新手，任何建议都会有所帮助。

问题：一组n矩形，其边平行于x或y轴，并且每个矩形具有相同的长度和高度；每个矩形的四个角点坐标已知，设计一个O(nlogn)时间的分治算法计算所有矩形的并集，并集表示这些矩形覆盖的合并区域。

这些矩形可能是不相交的、接触的或重叠的，它们有数千个。输出可以是任何形状（结果可能内部是空心的，如洋葱圈），边界由一组点坐标定义。当我将它们分成两半时，我正在努力合并这两个子部分。 （我知道如何使用扫描线/扫描平面方法计算联合面积，但不知道如何使用 DaC。）

例子：

Answer 1

让我们像众所周知的merge sort algorithm 一样思考。调用我们的程序 UnionShape。假设我们有一个初始大小为 n（未排序）的向量 结构，所以我们可以将其除以一半并递归地应用 UnionShape，给它 lg n 个级别（让它为 k）。如果我们可以详细说明联合程序，使得在每个级别上都有 O(n) 个工作，我们将得到 O (n lg (n)) 的总数。

想法是，如果形状的角被排序，我们可以详细说明 Union 过程，使其花费 O(m) 时间，其中 m 是联合形状的角的数量。最初（最低 k 级别 - 在 k 次递归调用之后）总数为 n/2^k，例如 2，矩形的角已经排序。我们有 2^k 个联合调用，每个调用具有 n/2^k 个形状角，总共 O(n)。当合并矩形时，我们支持结果形状的角的排序顺序。在下一个级别，我们将有 2^(k-1) 次调用，其中 n/2^(k-1) 形状角（最大）等等 - 每个级别都有 O(n) 比较，我们有 lg n 个级别，所以我们总共有 O(n lgn)。

这就是你的重点，如果你以这种方式制定数据结构和联合程序，你就会完成。