分治算法计算朋友点

Question

我有一个问题需要通过分而治之来解决。 有一个集合 S，包括 N 个点。 如果有一个平行于轴的正方形，只包含 S 中的两个点 p1 和 p2，那么我们称为 p1 和 p2 朋友点。

现在，我需要使用分治算法来计算 S 中有多少朋友点。

我想了很久。我没有办法。 我需要你的帮助。 我的英语不好，如果你有问题，请问我，我会补充。谢谢。

Answer 1

下面的（不一定是最优的）伪代码算法呢？

List<Pair<Point, Point>> findFriends(List<Point> points)
{
    List<Pair<Point, Point>> friends = new List<Pair<Point, Point>>();

    if (points.Count > 1)
    {
        if (points.Count == 2)
        {
           friends.Add(new Pair<Point, Point>(points[0], points[1]);
        }
        else
        {
           int xMedian = getMedianX(points);
           int yMedian = getMedianY(points);
           List<Point> topLeftPoints = selectPoints(points, 0, xMedian-1, yMedian, yMax);
           List<Point> bottomLeftPoints = selectPoints(points, 0, xMedian-1, 0, yMedian-1);
           List<Point> topRightPoints = selectPoints(points, xMedian, xMax, yMedian, yMax);
           List<Point> bottomRightPoints = selectPoints(points, xMedian, xMax, yMedian, yMax);

           friends.Add(findFriends(topLeftPoints));
           friends.Add(findFriends(bottomLeftPoints));
           friends.Add(findFriends(topRightPoints));
           friends.Add(findFriends(bottomRightPoints));      
        }
    }

    return friends;
}

Answer 2

诀窍是以这样一种方式进行划分，使各个部分更小并且可以独立处理。我们可以使用类似于快速排序的枢轴将点分成两组。但这比听起来要困难得多，因为如果没有正确完成，集合可能不会在特殊情况下收缩或不独立。

添加朋友：由于无法进一步划分而必须评估的集合的大小是 1（什么都不做）、2（添加对）和 3（将 2 添加到 3对，需要检查）。

寻找支点：计算平均 x 和平均 y 并找到最接近它的点 p。

划分：将点划分为 4 个集合 a、b、c 和 d，如下所示。 a,b是a左下，右上分区和c，da左上，右下分区，只保留更好的（取a，b if a.size + b.size p.x || y >= p.y, 设置 c: x = p.y 并设置 d: x >= p.x || y

例子：

* * *    * * *    * * .   * * *
* * * => * p * => * * . , . * * bottom-left top-right partition
* * *    * * *    * * *   . * *

* * .    * * .    * * .   . . .
* * . => * p . => * * . , * * . top-left bottom-right partition
* * *    * * *    * . .   * * *

. . .    . . .    . . .   . . .
* * . => * * . => * . . , . * * bottom-left top-right partition
* * *    * p *    * * *   . * .

等等...简化：

a | b    top-left bottom-right partition: 1st set: a, b, c, p; 2nd set: b, c, d, p.
- p -
c | d    bottom-left top-right partition: 1st set: a, c, d, p; 2nd set: a, b, d, p.

组是独立的，因为 ad 和 cb 中的点不能成为朋友，p 将永远是障碍。左上角右下角分隔点 a 和 d，左下角右上角分隔点 b 和 c。