如何将圆上的坐标转换为正方形上的坐标？

Question

我目前正在开发一款 LBP2 游戏，该游戏修改了控制器提供输入的方式。这个问题： How can I convert coordinates on a square to coordinates on a circle? 在我正在做的事情上帮助了我很多，但我确实有一个问题。我需要他们给出的反函数。它们从方形 -> 圆形开始，我已经尝试过搜索如何将圆形映射到方形。

上一题给出的函数是：

xCircle = xSquare * sqrt(1 - 0.5*ySquare^2)

yCircle = ySquare * sqrt(1 - 0.5*xSquare^2)

来自Mapping a Square to a Circle

我的问题是 xCircle 和 yCircle...我如何找到 xSquare 和 ySquare？

我已经尝试了所有我知道的代数，填满了两页笔记，试图让 wolfram alpha 得到反函数，但是这个问题超出了我的能力。

感谢您的观看。

Answer 1

x = ½ √( 2 + u² - v² + 2u√2 ) - ½ √( 2 + u² - v² - 2u√2 )
y = ½ √( 2 - u² + v² + 2v√2 ) - ½ √( 2 - u² + v² - 2v√2 )

注解：我使用的是 x = xSquare , y = ySquare, u = xCircle 和 v = yCircle;

即(u,v) 是圆盘坐标，(x,y) 是方坐标。

有关方程式的 C++ 实现，请转至
http://squircular.blogspot.com/2015/09/mapping-circle-to-square.html

见http://squircular.blogspot.com 更多示例图片。
另外，证明/推导参见http://arxiv.org/abs/1509.06344

这个映射是

的逆映射

u = x √( 1 - ½ y² )
v = y √( 1 - ½ x² )

---

附：映射不是唯一的。还有其他映射。下图说明了映射的非唯一性。

Answer 2

如果您有 xCircle 和 yCircle，则表示您位于半径为 R = sqrt(xCircle^2 + yCircle^2) 的圆上。现在您需要将该圆扩展为一个半边 = R 的正方形，

if (xCircle < yCircle)
     ySquare = R, xSquare = xCircle * R/yCircle
else
     xSquare = R, ySquare = yCircle * R/xCircle

这是第一象限，对于其他象限，您需要对标志进行一些微不足道的调整

Answer 3

有很多方法可以做到这一点；这是一种简单的方法。

想象一个以原点为中心的半径为 R 的圆，以及一个以原点为中心的边为 2R 的正方形，我们想要映射其内部和之上的所有点圆的边界（坐标 (x,y)）到正方形边界内和边界上的点。请注意，我们还可以使用polar coordinates (r, ø)（应该是 phi）来描述圆内的点，其中

x = r cos ø,
y = r sin ø

（即 r^2 = x^2 + y^2 和 r ）。然后想象其他坐标 x' = a(ø) x = a(ø) r cos ø 和 y' = a(ø) y（即，我们决定a 不会依赖于 r)。

为了将圆的边界（r = 1）映射到正方形的边界（x' = R），我们必须有，对于ø , x' = a(ø) R cos ø = R，所以我们必须有 a(ø) = 1/cos ø .类似地，对于 45 ，我们必须将圆的边界映射到 y' = R，给出 a(ø) = 1/sin ø 在那个地区。继续绕圆，我们看到 a(ø) 必须始终为正，所以从圆到正方形的最终映射是

x' = a(ø) x,
y' = a(ø) y

在哪里

ø = |arctan y/x| = arctan |y/x|

和

a(ø) = 1/cos ø，当 ø x 时），以及
a(ø) = 1/sin ø，当 ø > 45 度时

这会立即为您提供另一个方向的映射。如果您在正方形上有坐标 (x', y')（其中 x' 和 y' ），那么

x = x'/a(ø)
y = y'/a(ø)

与 a(ø) 同上。

---

不过，一个更简单的映射是计算圆上所需位置的 (r, ø)，并将其映射到 x' = r 和y' = ø。这也将圆中的每个点映射到一个矩形中，反之亦然，并且可能具有更好的属性，取决于您想要做什么。

所以这才是真正的问题：您在这里的真正目标是什么？

Answer 4

我正在实施上述解决方案，但结果并不令人满意。 方坐标不准确。

这是一个简单的反例：

• 考虑正方形上的点 (x,y)=(0.75, 1)。
• 我们将其映射到圆上 (u,v)=(0.53, 0.85) 的圆。

• 应用上面的表达式我们得到新的正方形坐标

  (x',y')=(u/v,r)=(0.625543242, 1) 其中 r=(u^2+v^2)^(1/2)。

这点很接近，但不是预期的精确解。

我解决了一个求根问题，以便像上面一样获得从正方形到圆形的映射的逆表达式。 您需要解决上述系统方程：

I) u = x*(1-y^2/2)^(1/2)
II) v = y*(1-x^2/2)^(1/2)

一个以 8 个根点作为解。我在下面介绍的 Excel-VBA 中实现的根之一，它工作得很好。

' given the circle coordinates (u,v) caluclates the x coordinate on the square
Function circ2sqrX(u As Double, v As Double) As Double
    Dim r As Double, signX As Double, u2 As Double, v2 As Double, uuvv As Double, temp1 As Double
    u2 = u * u
    v2 = v * v
    r = Sqr(u2 + v2)
    signX = 1
    If v = 0 Or u = 0 Then
       circ2sqrX = u
       Exit Function
    End If
    If u < 0 Then
    signX = -1
    End If
    If Abs(u) = Abs(v) And r = 1 Then
       circ2sqrX = signX
       Exit Function
    End If
    uuvv = (u2 - v2) * (u2 - v2) / 4
    temp1 = 2 * Sqr(uuvv - u2 - v2 + 1)
    circ2sqrX = -((temp1 - u2 + v2 - 2) * Sqr(temp1 + u2 - v2 + 2)) / (4 * u)
End Function

' given the circle coordinates (u,v) caluclates the y coordinate on the square
' make use of symetrie property
Function circ2sqrY(u As Double, v As Double) As Double
    circ2sqrY=circ2sqrX(v,u)
End Function