改进素数过滤代码 - O(n^2) 到 O(n) 并删除数组的冗余元素答案

【问题标题】：Improve prime filtering code - O(n^2) to O(n) and remove redundant elements of array改进素数过滤代码 - O(n^2) 到 O(n) 并删除数组的冗余元素
【发布时间】：2017-10-17 21:33:50
【问题描述】：

我创建的这段代码遍历数字 1-100 并消除非素数，即留下 2、3、5、..97。但是，它包含 2 个用于排序算法的 for 循环，因此速度很慢。最重要的是，数字“0”保留在被淘汰数字的位置。

我的问题是，我怎样才能使这个程序达到 O(n) 的性能，我怎样才能将 nums[] 中的素数复制到另一个数组中，以便它们按顺序排列？

#include <stdio.h>

#define MAX 100

int main ()
{
    int nums[MAX];
    int i,j;

    for (i=0;i<MAX;i++)
    {
        nums[i] = i;  //Place numbers from 1 to 100 in the array
    }

    for (i=0;i<MAX;i++)  //Loops through each number in the array
    {
        for (j=2;j<=9;j++) 
            /* This loop iterates from 2 to 9 and checks if 
            the current number is divisible by it. If it is,
            it replaces it with 0.*/
        {
            if (nums[i] == 1 || nums[i] == 4 || nums[i] == 6 || nums[i] == 8 || nums[i] == 9 || nums[i] == 10 )
            /*Excludes non-primes less than 11*/
            {
                nums[i] = 0;
            }

            if ((nums[i]%j)==0 && nums[i] > 11)
            {

                nums[i] = 0;
            }
        }
    }

    for (i=0;i<MAX;i++)
    {
        printf("%d ", nums[i]);
    }
    return 0;
}

提前感谢您的帮助！

【问题讨论】：

codegolf.stackexchange.com/questions/6309/…
你的程序是 O(n^1.5)，而不是 O(n^2)。查找需要 O(n loglogn) 的 Eratosthenes 筛，或者更快的更复杂的 Atkin 筛。
注意：评论是off-by-1 //Place numbers from 1 to 100 in the array --> Place numbers from 0 to 99 in the array
是什么让你相信存在 O(N) 算法？
@Prune，根据en.wikipedia.org/wiki/Generating_primes#complexity，有线性时间筛，它们不像 Erastothenes 那样简单。

标签： c arrays algorithm

【解决方案1】：

我不知道你打算做什么。但是，如果它是主要生成器，那么请在您的代码 if ((nums[i]%j)==0 && nums[i] > 11)nums[i] = 0 中查看此条件。如果我没记错的话，你在这里过滤非素数。是的，它会正确过滤 100 以下。但是 11 或 13 的倍数呢，比如说 121 或 169，这些不会过滤掉非素数。然后，您必须在检查器中添加更多数字。所以它根本不是一个好的过滤器。
让我们设计一个过滤器:)，你知道除了 2 之外所有的素数都是奇数。

首先，我们将从列表中过滤掉所有偶数。假设我们有一个 0 数组，过滤后哪个索引将保持为 0 是素数。

for(int a=4; a<MAX; a+=2)nums[a]=1;
//remove all even(multiple of 2) number, except 2

现在我们将过滤为 9,15,121 等赔率倍数的赔率。让我们从第一个奇数开始过滤它们的所有倍数

for(int a=3; a<MAX; a+=2) //all odd num below MAX
{
    for(int b=a*2; b<MAX; b+=a)nums[b]=1;
    //multiple of a's are a*2,a*2+a,a*2+a+a .... 
}

所以在这个循环中，当我们得到一个奇数时，我们过滤了它的所有倍数。所以所有没有过滤掉的奇数都是主要原因，除了 1 和它自己之外，它们没有除数。

现在通过索引仍为 0 的 nums 数组检查结果循环

for(int a=2;a<MAX; a++)if(!nums[a])printf("%d ", a);

是的，你明白我的想法，这种方法称为 sieve of Eratosthenes。

如果你愿意，你可以优化我所做的一些事情。

【讨论】：

埃拉托色尼筛子不是O(n)
而且我没有说它的 O(n)
OP 试图从列表中消除非素数，这就是为什么我建议使用更好的方法来过滤 :) 。我没有建议 O(n) 解决方案。

【解决方案2】：

是的，那里有O(N) 素数生成器（其中N 是素数的数量，而不是在亚线性时间内运行的素数的范围大小）。例如欧拉公式（来自Project Euler 27）：

p = n² + n + 41;  n={0,1,2,...39}

此处公式输出与素数的比较：

Output: 41,43,47,53,...61,...71,......83,...97,................113,....131,............151,............173,................197,........223,....................251,....................281,................313,............347,........................383,....................421,........................461,........................503,................547,........................593,............................641,................................691,........................743,........................797,............................853,................................911,............................971,.........................................1033,.............................................1097,...................................1163,...................................1231,.......................................................1301,...................................1373,........................................1447,.......................................................1523,..................................................1601
Primes: 41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997,1009,1013,1019,1021,1031,1033,1039,1049,1051,1061,1063,1069,1087,1091,1093,1097,1103,1109,1117,1123,1129,1151,1153,1163,1171,1181,1187,1193,1201,1213,1217,1223,1229,1231,1237,1249,1259,1277,1279,1283,1289,1291,1297,1301,1303,1307,1319,1321,1327,1361,1367,1373,1381,1399,1409,1423,1427,1429,1433,1439,1447,1451,1453,1459,1471,1481,1483,1487,1489,1493,1499,1511,1523,1531,1543,1549,1553,1559,1567,1571,1579,1583,1597,1601

如您所见，它按顺序生成素数，但不是全部。这种发生器仅限于特定范围。还有一些数值方法可以在特定范围内生成这样的公式，但要获得它们比O(N) 要困难得多。

你需要做一个近似多项式，它可以在<1,100> 上工作，但这可能需要高次多项式来保持精度（或分段使用）。所以谷歌多项式拟合但更好的选择是PSLQ。

有关如何改进筛素发生器的更多想法，请查看：

Prime numbers by Eratosthenes quicker sequential than concurrently?

【讨论】：