O(n^2) 与 O (n(logn)^2)答案

【问题标题】：O(n^2) vs O (n(logn)^2)O(n^2) 与 O (n(logn)^2)
【发布时间】：2012-11-22 12:50:16
【问题描述】：

时间复杂度是O(n^2) 还是O (n(logn)^2) 更好？

我知道当我们简化它时，它变成了

O(n) vs O((logn)^2)

还有logn n，但是logn^2呢？

【问题讨论】：

标签： algorithm math data-structures big-o time-complexity

【解决方案1】：

对于每个常数 k 渐近 log(n)^k < n。

证明很简单，对等式两边都做log，你会得到：

log(log(n))*k < log(n)

很容易看出，渐近，这是正确的。

语义说明：假设这里是 log(n)^k == log(n) * log(n) * ... * log(n) (k times) 而不是 log(log(log(...log(n)))..) (k times)，因为它有时也被使用。

【讨论】：

【解决方案2】：

O(n(logn)^2) 对于较大的 n 更好（更快）！

从双方获取日志：

Log(n^2)=2log(n)

Log(n(logn)^2)=Log(n)+2log(Log(n))=Log(n)+2log(Log(n))

lim n--> 无穷大 [(Log(n)+2log(Log(n)))/2log(n)/]=0.5（使用 l'Hôpital 规则）（http://en.wikipedia.org /wiki/L'H%C3%B4pital's_rule)]

【讨论】：

我相信 OP 在 (log(n))^2 之后而不是 log(n^2)
你说得对：log(n(log(n)^2)=log(n)+log(log(n)^2)=log(n)+2(log(log( n))

【解决方案3】：

(logn)^2 也是 n。

举个例子：

 n = 5
 log n = 0.6989....
 (log n)^ 2 = 0.4885..

可以看到，(long n)^2 进一步缩小了。

即使你取更大的 n 值，例如100,000,000 ，然后

   log n = 9
   (log n)^ 2 = 81

远远小于n。

【讨论】：

log(100) n==5 是一个不好的例子。
尝试一百万。 log n = 13.8155... ，它的平方是 190.8683... 。请记住，O（N 的某些函数）处理 N 的大值。
@amit 我在示例中使用了更大的数字。我已经在更新答案了。
@cHao 我已经拿了一个更大的数字，我认为这已经足够了。

【解决方案4】：

对于 n 的值，
n 仅小于 (log n)²强> 小于 0.49...

所以一般 (log n)² 对于较大的 n...

但由于这些 O(something) 符号总是忽略常数因素，在您的情况下，可能无法确定哪种算法更好。 .

这是一个图表：

（蓝线是n，绿线是(logn)²）

请注意，n 的小值的差异如何并没有那么大，并且可能很容易被未包含在 Big-O 表示法中的常数因子相形见绌。

但对于较大的 n，(log n)² 胜出：

【讨论】：

Notice how the green line shoots up to infinity for tiny values of n asymptotics 不是关于是否某事物会走向无穷大，而是关于它以多快的速度接近无穷大。 log(n)^2 也进入无穷大。
@phant0m 我想指出的是，(log n)^2 对于 n 的小值也趋于无穷大，而不仅仅是大值。但这更多的是纯粹的数学观察，因为无论如何 n 通常不小于 1...我将摆脱这条线。它并没有真正添加任何有用的东西......

【解决方案5】：

(Log n)^2 更好，因为如果您通过 exp m 对 n 进行变量更改，则 m^2 比 exp m 更好

【讨论】：

【解决方案6】：

O(n^2) vs. O(n*log(n)^2)
<=> O(n) vs. O(log(n)^2) (divide by n)
<=> O(sqrt(n)) vs. O(log(n)) (square root)
<=> polynomial vs. logarithmic

对数获胜。

【讨论】：