计算多元正态的概率

Question

我的问题涉及数学和 CS 问题，但由于我需要一个高性能的实现，所以我将其发布在这里。

问题：

我有一个估计的正态双变量分布，定义为一个 python 矩阵，但是我需要在 Java 中转置相同的计算。 （此处为虚拟值）

mean = numpy.matrix([[0],[0]])
cov = numpy.matrix([[1,0],[0,1]])

当我收到一个 整数 值 (x,y) 的列向量时，我想计算给定元组的概率。

value = numpy.matrix([[4],[3]])
probability_of_value_given_the_distribution = ???

现在，从数学的角度来看，这将是 3.5 < x < 4.5 和 2.5 < y < 3.5 在我的法线概率密度函数上的积分。

我想知道的：

有没有办法避免这种有效实现，这意味着处理定义在矩阵和双积分上的表达式？除此之外，如果我必须自己实现它会花费我一段时间，这在计算上会很昂贵。一个近似的解决方案对我来说非常好。

我的理由：

在单变量正态中，可以简单地使用累积分布函数（或者甚至将其值存储为标准函数，然后进行归一化），但不幸的是，出现了not to be 多变量的封闭 cdf 形式。

单变量的另一种方法是使用 bivariate approximation 的倒数（因此，将正态近似为二项式），但将其扩展到多变量我不知道如何计算协方差。

我真的希望有人已经实现了这个，我很快就需要它（完成我的论文），但我找不到任何东西。

Answer 1

OpenTURNS 提供了多正态分布 CDF 的有效实现（请参阅code）。

import numpy as np

mean = np.array([0.0, 0.0])
cov = np.array([[1.0, 0.0],[0.0, 1.0]])

让我们用这些参数创建多元正态分布。

import openturns as ot
multinormal = ot.Normal(mean, ot.CovarianceMatrix(cov))

现在让我们计算平方 [3.5, 4.5] x |2.5, 3.5] 的概率：

prob = multinormal.computeProbability(ot.Interval([3.5,2.5], [4.5,3.5])) 
print(prob)

计算出来的概率是

1.3701244220201715e-06

Answer 2

如果您正在寻找probabiliy density function of a bivariate normal distribution，以下是可以完成这项工作的几行代码：

import numpy as np

def multivariate_pdf(vector, mean, cov):
    quadratic_form = np.dot(np.dot(vector-mean,np.linalg.inv(cov)),np.transpose(vector-mean))
    return np.exp(-.5 * quadratic_form)/ (2*np.pi * np.linalg.det(cov))

mean = np.array([0,0])
cov = np.array([[1,0],[0,1]])
vector = np.array([4,3])

pdf = multivariate_pdf(vector, mean, cov)