【发布时间】：2011-03-30 15:57:29
【问题描述】：
我参与了Ax = b 类型系统的解析，其中 A 是一个稀疏方阵，x 是未知数的向量（我必须计算它），b 是一个全零向量最后一个元素是 1 除外。
矩阵 A 的最后一行用于归一化，所以用 1 来满足。
这个系统的解是概率，因此必须遵守条件0<x(i)<1。
为了解决系统问题，使用了Matlab命令x = A \ b;。
该方法似乎运行良好，但有一种特殊情况，即向量 x 也包含负值。给矩阵A的任意元素加上一个很小的值（10^-6），分辨率回到满足条件。
我不是数学家，所以不知道是不是代码问题，还是矩阵A必须尊重一些属性才能保证解都在0到1之间。
【问题讨论】：
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你得到的负值是不是很小？
Ax=b对得到的x（具有负值）的满足程度如何？例如，max(x,0)/sum(max(x,0))（通过蛮力摆脱它们并修复标准化）是对@987654327 更好或更差的解决方案@? -
对于它的价值，我猜这不是您的代码中的错误，而是累积数字错误的结果。求解大型方程组总是会出现一些错误。您可以通过说
x = A\b; x = x - A\(A*x-b);来提高解决方案的准确性，但代价是进行额外的计算；这是否给了您（1）Ax-b较小的解决方案和/或（2）负面元素不存在或负面较少的解决方案？ -
@Gareth 谢谢回复，负值是10^-3的顺序，不能忽略。我什至尝试了您的解决方案，并且：（1）准确性下降，（2）负值仍然存在。
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真可惜。如果向量是（或密切相关）马尔可夫链的平衡概率，并且您有转移概率矩阵（大概类似于 A），那么您正在寻找 Bx=x（或 x=Bx）的解决方案，取决于您编写转换矩阵的方式）。如果你有一个近似解，并且如果马尔可夫链是不可约的和非周期性的，那么 Bx 将是一个比 x 更精确的解。 （你可能想要重新规范化它。）
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@Gareth 所以你的建议是将计算方法从
Ax=b切换到x=Px，其中P是转移概率矩阵，x是状态概率向量。我说得对吗？
标签： matlab linear-algebra sparse-matrix markov-chains