在给定行和列总和的情况下查找二进制矩阵是否存在

Question

如何确定是否可以构造具有给定行和列总和的二进制矩阵。

输入：

输入的第一行包含两个数字1≤m，n≤1000，矩阵的行数和列数。下一行包含 m 个数字 0≤ri≤n – 矩阵中每一行的总和。第三行包含 n 个数字 0≤cj≤m - 矩阵中每一列的总和。

输出：

如果存在 m×n 矩阵 A，则输出“YES”，每个元素为 0 或 1。否则为“NO”。

我尝试阅读有关断层扫描算法但无法找到答案，因为所有与断层扫描算法相关的论文都非常复杂。

谁能帮帮我..

Answer 1

我已经成功地使用基于network flow 的建模为 R 随机生成此类矩阵。我打算有一天把这些想法写下来，但还没有找到时间。为此，我阅读了 Miklós 和 Podani 的 Randomization of Presence–absence Matrices: Comments and New Algorithms：

Havel-Hakimi 定理 (Havel 1955, Hakimi 1962) 指出存在一个矩阵 X_{n,m sub> 个 0 和 1，行总计 a0=(a1, a i>2,... , an) 和列总计 b0=(b1, b2,…, b i>m) 使得 bi ≥ b i>i+1 对于每个 0 i m 当且仅当另一个矩阵 X n−1,m 个 0 和 1，行总计 a1=(a2, a3,… , an) 和列总数 b1=(b1 sub>-1, b2-1,… ,ba1-1, ba1+1,… , b m) 也存在。}

我想这应该是递归决定您的问题的最佳方法。

用我自己的话来说：选择任意行，将其从总计列表中删除。调用删除的号码k。还要从 k 列中减去一个总和。你得到一个较小矩阵的描述，然后递归。如果在任何时候您都没有 k 列的和非零，那么就不会存在这样的矩阵。否则，您可以使用相反的过程递归地构建匹配矩阵：获取递归调用返回的矩阵，然后再添加一行 k 个，放置在您最初从其计数中减去一个的列中。

实施

bool satisfiable(std::vector<int> a, std::vector<int> b) {
  while (!a.empty()) {
    std::sort(b.begin(), b.end(), std::greater<int>());
    int k = a.back();
    a.pop_back();
    if (k > b.size()) return false;
    if (k == 0) continue;
    if (b[k - 1] == 0) return false;
    for (int i = 0; i < k; i++)
      b[i]--;
  }
  for (std::vector<int>::iterator i = b.begin(); i != b.end(); i++)
    if (*i != 0)
      return false;
  return true;
}