检查是否可以在给出每行和每列的总和时创建二进制矩阵？

Question

给定矩阵中每一行和每一列的总和，检查是否可以创建二进制矩阵？

输入：

输入的第一行包含两个数字1≤m,n≤100000000，矩阵的行数和列数。下一行包含 m 个数字 0≤ri≤n – 矩阵中每一行的总和。第三行包含 n 个数字 0≤cj≤m - 矩阵中每一列的总和。

输出：

如果存在 m×n 矩阵 A，则输出“YES”，每个元素为 0 或 1。否则为“NO”。

我尝试了Finding if binary matrix exists given the row and column sums中发布的解决方案

上面的解决方案适用于小输入，但是当输入大约为 10 亿时，像 codility 这样的测试平台就会超时。我需要一个比 o(m*n) 更好的解决方案。有人可以帮忙吗？

Answer 1

您可以使用 maxflow 算法；它可以在不同的来源获得，例如 https://www.geeksforgeeks.org/ford-fulkerson-algorithm-for-maximum-flow-problem/ 或其他地方。

对于这个问题，你必须制作一个有 4 层的图表； 第一个和第四个只使用一个节点，实际上它们是maxflow算法中的源和目标。

在第二层和第三层中，您必须使用 m 和 n 节点，并且从一层到另一层的每个节点之间是一条容量 = 1 的边 这就是您在问题中命名的矩阵。

正如我们之前在您的第二层中所说的，我们有 m 个节点，并且所有节点都连接到第一个节点（maxflow 算法中的源），它的权重就是您作为输入得到的。 并且对于第三和第四（目标节点）与 m 节点和 m 输入值相同。

运行算法后， 如果节点的所有容量都被使用，那么你的答案是肯定的，如果不是，你的答案是否定的。 为什么？ 在您使用容量的任何地方，它都会在矩阵中显示 1，并且您需要全部为 1，因此您的答案应该有所有的流程。 如您所见，在第二层的节点编号 a 和第三层的 nember b 之间，如果它在您的矩阵 m 中有流动，则 m[a][b]=1。