具有严重抑制指数的 Matlab 双积分

Question

我最近一直在尝试计算函数fun = @(v,x)(10^4)*0.648*(1+v*0.001).*( exp(-2.83./( 10^-8+(sqrt(1+2*v*0.001)).*(x.^2)) ) -1).*(exp(-(v.^2)*0.33)) 的二重积分，v 的范围为 (-1000,1000)，x 的范围为 (0,a)，其中 a 是一个非常大的数字或无穷大.我发现，虽然在 a = inf 的情况下，该值似乎相当准确（它减少为单个积分，在数值上评估不太麻烦），但如果我从 0 积分到 10^9 和从 10 ^9 到无穷大，积分总和不等于正确值，后者为零。我真正感兴趣的是从 0 到 10^9 的积分，但这些结果让我怀疑我是否可以完全相信它。 在我所做的事情中，我还必须在函数前面使用一个大的前置因子（10^200）来“补偿”小数字；否则结果都是一派胡言。我曾尝试使用 vpa，但没有成功。我做错了什么？

罗伯

Answer 1

看起来您的问题与 Matlab 用于不同情况的不同方法以及您正在处理的大数字有关。

我们可以通过ezsurf 看到您的函数，只是为了了解它的行为方式。

所以提示 1 是该值将是一个负值，让我们在小范围内进行积分以查看它的近似值。

integral2(fun,-100,100,0,100)

%ans =
%  -5.9050e+04

假设函数趋于零，我们知道最终值应该在邻域上。

现在提示 2：

integral2(fun,-1000,1000,0,100)

%ans =
%  -2.5613e-29

这没有多大意义，通过增加限制范围，积分基本上变为零。检查后documentation of integral2

'Method' - 积分方法 '自动' （默认） | '平铺' | '迭代'

积分方法，指定为逗号分隔的对组，由“方法”和下述方法之一组成。

集成方法说明

'auto' 在大多数情况下，integral2 使用 'tiled' 方法。当任何积分限制为无限时，它使用“迭代”方法。这是默认方法。

'tiled'integral2 将积分区域转换为矩形，并根据需要将其细分为更小的矩形区域。积分限制必须是有限的。

'iterated'integral2 调用integral 来执行迭代积分。外部积分在 xmin ≤ x ≤ xmax 上进行评估。内部积分在 ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) 上计算。积分限制可以是无限的。

好的，所以如果我们不定义方法，如果限制是有限的，它将使用“平铺”，如果限制是无限的，则使用“插值”。

会不会是如果范围太大，“平铺”方法创建的瓦片太大而无法准确计算积分？如果是这样，那么“迭代”应该没有这个问题，让我们检查一下

integral2(fun,-1000,1000,0,100,'Method','iterated')

%ans =
%  -5.9050e+04

有趣，看起来我们正在做某事。让我们试试原来的问题

integral2(fun,-1000,1000,0,inf)

%ans =
%  -5.9616e+04

integral2(fun,-1000,1000,0,10^9,'Method','tiled')

%ans =
%  -2.1502e-33

integral2(fun,-1000,1000,0,10^9,'Method','iterated')

%ans =
%  -5.9616e+04

integral2(fun,-1000,1000,10^9,inf)

%ans =
%     0

这样看起来更好。所以看起来'平铺'方法是你的函数的问题，因为它的特性和限制范围的大小。因此，只要您使用“迭代”就可以了。