为什么编译器将浮点数的位数固定为 6？

Question

根据The C++ Programming Language - 4th，第 6.2.5 节：

共有三种浮点类型：float（单精度）、double（双精度）和 long double（扩展精度）

参考：http://en.wikipedia.org/wiki/Single-precision_floating-point_format

真正的有效位包括二进制点右侧的 23 个小数位和一个值为 1 的隐式前导位（二进制点左侧），除非指数以全零存储。 因此只有 23 个小数位出现在内存格式中，但总精度为 24 位（相当于 log10(224) ≈ 7.225 个十进制数字）。

→ 浮点数的最大位数是binary32 interchange format 上的7 位数。 （在计算机内存中占用 4 个字节（32 位）的计算机数字格式）

当我在不同的编译器（如 GCC、VC 编译器）上进行测试时
→ 它总是输出6 作为值。

查看每个编译器的float.h
→ 我发现6 是固定的。

问题：

• 你知道为什么这里会有不同（实际值理论值 - 7 - 和实际值 - 6 之间）吗？
  听起来 "7" 更合理，因为当我使用下面的代码进行测试时，该值仍然有效，而 "8" 无效
• 为什么编译器不检查交换格式以决定浮点数表示的位数（而不是使用固定值）？

代码：

#include <iostream> 
#include <limits>

using namespace std;

int main( )
{
    cout << numeric_limits<float> :: digits10 << endl;

    float f = -9999999;

    cout.precision ( 10 );

    cout << f << endl;
}

Answer 1

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std::numeric_limits<float>::digits10 是 6：

std::numeric_limits<T>::digits10 的值是T 类型可以表示的base-10 位数，无需更改，即任何具有这么多十进制位数的数字都可以转换为类型的值T 并返回十进制形式，不会因舍入或溢出而改变。对于基数类型，它是数字的值（浮点类型为digits-1）乘以 log₁₀(radix)并向下舍入。

标准的 32 位 IEEE 754 浮点类型有 24 位小数部分（写入 23 位，隐含一位），这可能表明它可以表示 7 位小数（24 * std::log10(2) 为 7.22），但 相对舍入误差是不均匀的，一些具有 7 个十进制数字的浮点值在转换为 32 位浮点数并返回时无法幸存：最小的正例是 8.589973e9，在往返。 这些舍入误差在表示中不能超过一位，digits10 计算为(24-1)*std::log10(2)，即6.92。四舍五入得到值 6。

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std::numeric_limits<float>::max_digits10 是 9：

std::numeric_limits<T>::max_digits10 的值是唯一表示 T 类型的所有不同值所必需的 base-10 数字的数量，例如序列化/反序列化为文本所必需的。此常量对所有浮点类型都有意义。

与大多数数学运算不同，只要至少使用了max_digits10（9 用于float，17 用于double），浮点值与文本之间的转换就是精确的：即使中间文本表示不准确，也保证产生相同的浮点值。用十进制表示法表示浮点数的精确值可能需要一百多个十进制数字。

Answer 2

std::numeric_limits<float>::digits10 等同于 FLT_DIG，由 C 标准定义：

小数位数，q，这样任何具有 q 个小数位的浮点数都可以四舍五入为具有 p 基数 b 位的浮点数，然后再次返回，而无需更改为 q 个小数位，

⎧ p log10 b 如果 b 是 10 的幂

⎨

⎩ ⎣( p − 1) log10 b⎦ 否则

FLT_DIG 6

DBL_DIG 10

LDBL_DIG 10

值 6（而不是 7）的原因是由于舍入错误 - 并非所有具有 7 个十进制数字的浮点值都可以用 32 位 float 无损表示。舍入误差限制为 1 位，因此 FLT_DIG 值是基于 23 位（而不是完整的 24 位）计算的：

23 * log10(2) = 6.92

四舍五入为6。