如何使用二进制运算将整数除以 3

Question

类似问题：How to know if a binary number divides by 3?

但是如何仅使用二进制运算有效地将一个数字除以 3？

Answer 1

主要思想是以下观察：

1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... 

我们记住，除以 4 是一个简单的二进制运算（两个位移位）。 现在，由于我们正在处理整数，它可能不能被 4 的幂整除，我们必须进行适当的修改。令 x_0 为可被 3 整除的整数。我们有：

x_0 = 4*q_0 + r_0

其中 q_0 = x_0 // 4 和 r_0 = x_0 % 4，或者换句话说，

q_0 = x_0 >> 2, r_0 = x_0 & 3

对于这个 q_0，我们有

x_0 - 3*q_0 = q_0 + r_0 

我们将 q_0 加到一个累加和中，现在我们要除以 x_1 := q_0 + r_0，我们知道它可以被 3 整除，并且比 x_0 小（大约 2 位）。在 x_k > 3 时迭代这个想法，诱导序列

q_0 + q_1 + ... + q_k 

加起来就是想要的结果，x_0 / 3。

至于运算，我们有：位移、AND 和加法。使用 AND 和 XOR 可以通过二进制操作简单地实现加法。这是一些代码：

def binary_sum(a, b):
    
    while True:
        
        add = a ^ b         # '^' is XOR
        carry = a & b
        if carry == 0:
            break
        else:
            a = add
            b = carry << 1
    
    return add
        


def bin_division_by_3(x):
     
    sum = 1

    while x > 3:
        q, r = x >> 2, x & 3
        sum = binary_sum(sum, q)
        x = binary_sum(q, r)

    return sum