二维离散傅里叶变换的复杂性

Question

我有一个关于二维傅立叶变换的问题。我目前正在理解这背后的数学，有些东西我不明白。就我而言，DFT 的复杂度为O(N*N)。如果我看下面的算法：

我不明白它是如何工作的。我们要对转换后的图像中的每个像素进行这种计算吗？

示例

1. 我们有一个 2*2 的图像。
2. 对于此图像中的每个像素，我们将进行 DFT F(x,y)
3. 我会新建一张图片，每个像素都是对应的复数值的大小

这是它的工作原理还是我错过了什么？因为在我现在看来，它的复杂度是O(N^4)

Answer 1

方程的意思是“获取像素 (u, v) 处的 F 值，求值（右侧的公式）。”因此，要获得整个转换后的图像，需要对转换后图像中的每个像素进行评估。

要使用公式计算 DFT，您需要对每个输出值的每个输入值进行 O(1) 计算。 （对于某些类型的数据，还有其他更快的算法。）在您的 2D DFT 情况下，该算法的复杂度为 O((M*N)^2)，因为输入像素的数量是 M*N，并且输出像素也是M*N。

编辑：通过在单独的步骤中转换行和列，可以在 O(NM^2 + MN^2) 中计算 2D 矩阵 DFT。算法在这里：http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/Image_Processing/node6.html