MATLAB 中的二维离散傅里叶变换实现

Question

我正在使用矩阵乘法在 Matlab 中实现二维离散傅里叶变换。

我意识到这可以是一个可分离的操作，所以我正在为一维 DFT 创建一个矩阵，并将其与输入图像的列相乘，然后与图像的行相乘。

但是，生成的 2D DFT 的值与使用 MATLAB 中的内置函数（即fft2）计算的 DFT 有很大差异。因此，在执行逆 DFT 重新创建图像时，生成的图像无法正确重新创建（即它与原始图像不同，但如果我使用fft2 函数，它是相同的）。

这是我写的代码。

%% signal is a matrix of MxN size
function res=myDFT(signal)
    signal=double(signal);

    l=size(signal,1);   
    x=[1:l];

    %% u and x are matrices of MxM size
    [x u]=meshgrid(x,x);
    M1=l-1;

    pre_dft=exp(1i*(-2*pi)./M1)/sqrt(M1);

    pre_dft=(pre_dft.^(u.*x));

    %the below matrix will be multiplied with the rows of the signal
    post_dft=pre_dft;        

    % res is the resultant DFT of the signal matrix
    % 1D DFT matrix is first multiplied with columns and then the    
    % rows of signal matrix

    res=pre_dft*signal*post_dft;
end 

如果有人能指出任何有用的东西来编辑我的代码或指出我的理论理解中的缺陷，我将不胜感激。

Answer 1

好的，您有一些错误需要我们修复...如果您希望它的工作方式与 fft2 在 MATLAB 中的工作方式完全相同。

错误 #1 - 归一化因子错误

fft 和最终的fft2 在计算变换时有没有归一化因子。在计算 DFT 矩阵的第一部分时，您可以摆脱该除法语句。另外，DFT矩阵的第一部分，在指数中，需要除以信号的总长度，而不是长度减1。

错误 #2 - 完成 DFT 矩阵最后一部分的幂运算错误

您从 1 到 l 计算 meshgrid，但幂运算要求您从 0 开始。因此，在进行功率计算之前，您需要将 u 和 x 减 1。

错误 #3 - 将 FFT 应用于行和列

正如您已经注意到的，2D FFT 是可分离的，可以通过先对行执行 1D FFT，然后对列执行来完成。不幸的是，您所做的操作不正确。 post_dft 需要转置，因为您想在列上应用生成的中间操作。

---

因此，通过我上面提到的所有修复，您更正的代码是：

function res=myDFT(signal)
    signal=double(signal);

    l=size(signal,1);   
    x=[1:l];

    [x, u]=meshgrid(x,x);

    %// Error #1
    pre_dft=exp(1i*(-2*pi)./l); %// Change

    %// Error #2
    pre_dft=(pre_dft.^((u-1).*(x-1))); %// Change

    %// Error #3
    post_dft = pre_dft.'; %// Change

    res = pre_dft*signal*post_dft;
end

---

用一些随机数据测试上述内容，并与fft2进行比较：

rng(123123);
in = rand(7);
out1 = myDFT(in);
out2 = fft2(in);

out1 包含更正的自定义实现，而out2 包含 MATLAB 的 fft2 算法的结果。我们得到：

>> out1

out1 =

  Columns 1 through 4

  26.2182 + 0.0000i  -1.3805 + 1.0956i   2.2881 - 0.4435i  -0.8005 + 1.5133i
  -1.3067 + 0.3236i  -0.5703 - 1.3884i  -0.7127 + 0.1303i   3.2689 - 0.5995i
  -0.6136 - 2.0731i  -0.2776 + 1.2926i   0.1587 - 1.4504i  -0.5305 + 1.4018i
  -3.0703 + 0.3715i  -1.5094 - 0.0216i   0.2573 - 3.2934i  -1.1100 + 1.4180i
  -3.0703 - 0.3715i  -0.9940 + 0.1328i   1.7269 + 0.2915i   0.2814 + 2.2212i
  -0.6136 + 2.0731i   1.8351 + 1.0629i   1.2891 + 1.7418i   0.4402 + 1.8756i
  -1.3067 - 0.3236i  -0.4974 - 0.9678i  -2.2419 + 2.0839i  -1.6844 + 0.9781i

  Columns 5 through 7

  -0.8005 - 1.5133i   2.2881 + 0.4435i  -1.3805 - 1.0956i
  -1.6844 - 0.9781i  -2.2419 - 2.0839i  -0.4974 + 0.9678i
   0.4402 - 1.8756i   1.2891 - 1.7418i   1.8351 - 1.0629i
   0.2814 - 2.2212i   1.7269 - 0.2915i  -0.9940 - 0.1328i
  -1.1100 - 1.4180i   0.2573 + 3.2934i  -1.5094 + 0.0216i
  -0.5305 - 1.4018i   0.1587 + 1.4504i  -0.2776 - 1.2926i
   3.2689 + 0.5995i  -0.7127 - 0.1303i  -0.5703 + 1.3884i

>> out2

out2 =

  Columns 1 through 4

  26.2182 + 0.0000i  -1.3805 + 1.0956i   2.2881 - 0.4435i  -0.8005 + 1.5133i
  -1.3067 + 0.3236i  -0.5703 - 1.3884i  -0.7127 + 0.1303i   3.2689 - 0.5995i
  -0.6136 - 2.0731i  -0.2776 + 1.2926i   0.1587 - 1.4504i  -0.5305 + 1.4018i
  -3.0703 + 0.3715i  -1.5094 - 0.0216i   0.2573 - 3.2934i  -1.1100 + 1.4180i
  -3.0703 - 0.3715i  -0.9940 + 0.1328i   1.7269 + 0.2915i   0.2814 + 2.2212i
  -0.6136 + 2.0731i   1.8351 + 1.0629i   1.2891 + 1.7418i   0.4402 + 1.8756i
  -1.3067 - 0.3236i  -0.4974 - 0.9678i  -2.2419 + 2.0839i  -1.6844 + 0.9781i

  Columns 5 through 7

  -0.8005 - 1.5133i   2.2881 + 0.4435i  -1.3805 - 1.0956i
  -1.6844 - 0.9781i  -2.2419 - 2.0839i  -0.4974 + 0.9678i
   0.4402 - 1.8756i   1.2891 - 1.7418i   1.8351 - 1.0629i
   0.2814 - 2.2212i   1.7269 - 0.2915i  -0.9940 - 0.1328i
  -1.1100 - 1.4180i   0.2573 + 3.2934i  -1.5094 + 0.0216i
  -0.5305 - 1.4018i   0.1587 + 1.4504i  -0.2776 - 1.2926i
   3.2689 + 0.5995i  -0.7127 - 0.1303i  -0.5703 + 1.3884i

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我觉得不错！