指数复杂度特定情况的大 O答案

【问题标题】：Big O for exponential complexity specific case指数复杂度特定情况的大 O
【发布时间】：2015-05-02 11:13:28
【问题描述】：

让我们使用一种算法来查找有向、非循环、非加权图中两个节点之间的所有路径，该图中可能包含相同两个顶点之间的多个边。（这个DAG只是一个例子，我不专门讨论这个案例，所以尽管它是正确的，但我认为它的正确性无视它。

我们有两个影响因素：

使用迭代方式解决问题，其中复杂性代表完成的处理操作的计数。

对于第一次迭代，复杂度 = mc

对于第二次迭代，复杂度 = mc*mc

对于第三次迭代，复杂度 = mc*mc*mc

对于第（最大长度路径）迭代，复杂度 = mc^ml

总的最差复杂度是(mc + mc*mc + ... + mc^ml)。

1- 我们可以说它是O(mc^ml)吗？

2- 这是指数复杂度吗？据我所知，在指数复杂度中，变量只出现在指数处，而不是底部。

3- mc 和 ml 在我的算法复杂性中都是变量吗？

【问题讨论】：

你为什么要使用那个算法呢？另外，为什么要查找节点之间的 all 路径（相对于最好的、最便宜的等）？
如果你的图是非循环的，那么 2 个节点之间只有 0 或 1 路径。
另外，请注意，无论如何你都可以说它是O(2^2^2^2^mc^ml^2^2^mc*ml^mc^ml) - O 表示法只是一个上限，你不必把它弄得很紧（尽管你的界限无论如何，对于 DAG 来说绝对不是很紧，你可以在 O(number of nodes) 中做到这一点，甚至可能在 NLOGSPACE 中使用 Tarjan 的算法。
@FalconUA - DIRECTED 无环图并非如此。
哦，抱歉，没有正确阅读问题

【解决方案1】：

在O(V + E) 中有更快的方法来获得答案，但您的问题似乎是关于计算复杂性，而不是关于优化算法。

是的，好像是O(mc^ml)
是的，它们 可以是算法复杂度中的变量

关于你的算法的复杂性：让我们做一些转换，使用a^b = e^(b*ln(a))：

mc^ml = (e^ln(mc))^ml = e^(ml*ln(mc)) < e^(ml*mc) if ml,mc -> infinity

所以，基本上，您的算法复杂度上限是O(e^(ml*mc))，但我们仍然可以缩短它以查看它是否真的是指数复杂度。假设ml, mc <= N，其中N 是，比方说max(ml, mc)。所以：

e^(ml*mc) <= e^N^2 = e^(e^2*ln(N)) = (e^e)^(2*ln(N)) < (e^e)^(2*N) = [C = e^e] = O(C^N)。

因此，您的算法复杂度将为O(C^N)，其中C 是一个常数，而N 的增长速度不会快于线性。所以，基本上 - 是的，它是指数复杂度。

【讨论】：

谢谢。但是，1-如果复杂性最初是 O(mc^ml) 和 O(mc^ml) stackoverflow.com/questions/29995965/…
并请记住，我的 DAG 可能在相同的两个顶点之间包含多个边，以进行说明：考虑一个简单（甚至极端）的示例，例如三个顶点 v1、v2、v3 和六个边 e1 ,...,e6 其中前三个边连接 v1 和 v2，后三个边连接 v2 和 v3。因此，我们有 3*3 = 9 条路径， e1e4, e1e5, e1e6, e2e4,...,e3e6 。嗯，这有一个指数增长，不能与我们有 3 个顶点和 6 个边的图大小成线性关系。