计算大 O 复杂度

Question

在最近的一次考试中，我们得到了一个函数来计算在未排序的 ArrayList 中出现了多少双精度（不是原始的 double，而是一个项目出现两次的次数）。

我正确地确定了大 O 复杂度为 O(N^2)，但由于我错误地确定了全部复杂度，因此只获得了部分功劳。函数如下：

public static <T> int countDoubles(ArrayList<T> list, int index, Comparator<? super T> cmp) {
    if (index >= list.size())
        return 0;
    int count = 0;
    for (int i = index + 1; i < list.size(); i++) {
        if (cmp.compare(list.get(index), list.get(i)) == 0)
            count++;
    }
    return count + countDoubles(list, index + 1, cmp);
}

在他刚刚发布的考试解决方案中，他给出了这样的解释：

输入集合中有N项，方法调用自己 一遍又一遍地使用产生新索引 N 次的归约步骤 直到它到达基本情况（集合结束）。对于每个 递归框架有一个 for 循环，可以在其中少一个元素上工作 重复每一帧中的集合，直到它到达末尾 集合。所以有 N 个递归调用和 N -1 个步骤 第一次调用，第二次调用 N-2，第三次调用 N-3，依此类推，直到 到达数组的末尾。这种行为在 上限复杂度的术语，因为它将呈现以下 表达式：

T(N) = (N-1) + (N-2) + (N-3) + ... + 1 = N(N-1)/2 = ((N^2)/2) - (N/2) = O(N^2)

为了正确理解这一点，我尝试画出一个大小为 10 的简单数组，每次将其检查的大小减一。

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计算递归级别是有意义的N。算出每个元素产生 9 + 8 ... = 45 考虑到 100（N 个递归级别 * N 个元素）是 100，我不明白 N/2 来自哪里，更不用说 ((N^2)/2) - (N/2)。

非常感谢任何解释，因为我一直在寻找过去一个月，似乎无法完全掌握我所缺少的东西。谢谢。

Answer 1

从1 到M 的整数之和为((M+1) * M) / 2。这只是一个数学事实（通常通过归纳证明）。如果您不相信，请尝试一些示例。

算法的第一遍执行N-1compares，每一级递归执行少一个compare，直到最后一级递归执行1compare。所以比较的总数（对于所有级别的递归）是从1 到N-1 的整数之和。将公式中的N-1 替换为M，得出的比较总数为(N * (N-1)) / 2。

从那里开始，它只是代数

(N * (N-1)) / 2 = (N * N - N) / 2 = ((N^2) / 2) - (N / 2)

以这种方式分解它的原因是因为 big-O 只关心具有最大指数的N。当然，big-O 也不关心常量。所以你扔掉(N / 2)，忽略/ 2，答案是O(N^2)，这是最大的crock o' ...

好吧，别管我对这件事的看法，就是这样。