Matlab：求解线性方程组中的单个变量答案

【问题标题】：Matlab: Solve for a single variable in a linear system of equationsMatlab：求解线性方程组中的单个变量
【发布时间】：2018-01-14 17:47:36
【问题描述】：

我在 Matlab 中有一个由大约 2000 个稀疏方程组成的线性系统。对于我的最终结果，我只需要其中一个变量的值：其他值无关紧要。虽然简单地求解方程并提取正确的变量并没有真正的问题，但我想知道是否有更快的方法或 Matlab 命令。例如，只要计算出所需的变量，程序原则上就可以停止运行。

有没有人知道这是否可能，或者继续解决整个系统是否会更容易？

【问题讨论】：

标签： matlab linear-equation

【解决方案1】：

大部分计算时间都花在了矩阵的求逆上，如果我们能找到一种方法来避免矩阵的完全求逆，那么我们或许可以改进计算时间。假设我只对最后一个变量x(N) 的解决方案感兴趣。使用我们计算的标准方法

x = A\b;
res = x(N);

假设A 是满秩，我们可以改为使用增广矩阵[A b] 的LU 分解得到x(N)，如下所示

[~,U] = lu([A b]);
res = U(end,end-1)/U(end,end);

这实质上是执行高斯消除，然后使用反向替换求解x(N)。

我们可以通过在 LU 分解之前交换 A 的列来扩展它以找到 x 的任何值，

x_index = 123;    % the index of the solution we are interested in
A(:,[x_index,end]) = A(:,[end,x_index]);
[~,U] = lu([A b]);
res = U(end,end)/U(end,end-1);

在 MATLAB2017a 中使用 10,000 个随机 200 维系统进行基准测试，我们得到了轻微的加速

Total time direct method : 4.5401s
Total time LU method     : 3.9149s

请注意，如果 A 条件不佳，您可能会遇到一些精度问题。

此外，这种方法没有利用A 的稀疏性。在我的实验中，即使使用 2000x2000 稀疏矩阵，一切都明显变慢，LU 方法也明显变慢。也就是说，完整的矩阵表示只需要大约 30MB，这在大多数计算机上应该不是问题。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果您可以访问 NASTRAN 的理论手册，我相信（从记忆中）涵盖了线性系统的部分解决方案。还可以尝试寻找 A*x = b 的迭代或三对角求解器。在此page 上，查看 Shantachhani 的 pqr 解决方案答案。另一个reference。

【讨论】：