C# 三角数优化

Question

任务是找到一个至少有 500 个除数的三角形数。

例如 28 有 6 个除数：1,2,4,7,14,28

我的代码最多适用于 200 个除数，但对于 500 个除数，它会永远运行...

有什么办法可以优化代码。比如我想到了动态优化和记忆，但找不到方法？

            int sum = 0;
            int counter = 0;
            int count = 1;

            bool isTrue = true;
            while (isTrue)
            {
                counter = 0;
                sum += count;

                for (int j = 1; j <= sum; j++)
                {
                    if (sum % j == 0)
                    {
                        counter++;
                        if (counter == 500)
                        {
                            isTrue = false;
                            Console.WriteLine("Triangle number: {0}", sum);
                            break;
                        }
                    }
                }
                count++;
            }            
            Console.WriteLine("Number of divisors: {0}", counter);

Answer 1

忽略这个数字是三角形数字的事实。如果你能快速解决这个问题：

• 给定任意数 n，确定它的除数数

那么显然你可以快速求解 Euler #12。只需列出易于计算的三角形数，确定每个数的除数，并在得到 500 或更大的结果时停止。

那么如何快速确定除数的数量呢？正如您所发现的，当数字变大时，工作量很大。

这里有一个提示。假设您已经有了 素数分解。让我们选择一个数字，比如 196。将其分解为素数：

196 = 2 x 2 x 7 x 7

我可以通过查看 196 有九个除数的因式分解告诉你。怎么样？

因为 196 的任何除数都具有以下形式：

(1, 2 or 2x2) x (1, 7 or 7x7)

显然有九种可能的组合：

1 x 1
1 x 7
1 x 7 x 7
2 x 1
2 x 7
2 x 7 x 7
2 x 2 x 1
2 x 2 x 7
2 x 2 x 7 x 7

选择另一个号码。 200，可以说。那是 2 x 2 x 2 x 5 x 5。所以有 十二种 种可能性：

1 x 1
1 x 5
1 x 5 x 5
2 x 1
2 x 5
...
2 x 2 x 2 x 5 x 5

看到模式了吗？您进行素数分解，按素数对它们进行分组，然后计算每组中有多少。然后将这些数字中的每一个加一并将它们相乘。同样，在 200 中，在素因数分解中有 3 个二和 2 个五。分别添加一个：四个和三个。将它们相乘：12。那就是有多少个除数。

因此，如果您知道素因数分解，您可以非常快速地找到除数的数量。我们已经将除数问题简化为一个更简单的问题：你能弄清楚如何快速生成素数分解吗？

Answer 2

这里有一些优化，我会为您提供一些优化。

最简单的就是改变

for (int j = 1; j <= sum; j++)
{
    if (sum % j == 0)
    {
        counter++;
        if (counter == 500)
        {
            isTrue = false;
            Console.WriteLine("Triangle number: {0}", sum);
            break;
        }
    }
}

如果你找到了 1 个除数，你已经找到了 2 个除数，所以把它改成

for (int j = 1; j <= sum; j++)
{
    if (sum % j == 0)
    {
        if(sum/j < j)
            break;
        else if(sum/j == j)
            counter++;
        else
            counter +=2;

        if (counter == 500)
        {
            isTrue = false;
            Console.WriteLine("Triangle number: {0}", sum);
            break;
        }
    }
}

这会大大减少运行时间，但仍然需要很长时间。

---

您可以做的另一个优化是不开始检查表单sum，而是计算具有 500 个除数的最小数字。

然后你可以找到最大的三角形数，然后从那里开始。

---

如果您能找出有关此问题性质的其他特别之处，那么您就有可能大大减少运行时间。

Answer 3

一个数的除数是质因数的幂加一的乘积。例如：28 = 2^2*7^1，所以除数的数量是(2+1)*(1+1) = 6。

这意味着，如果与数字的大小相比，您想要多个除数，您不希望任何一个素数出现得太频繁。换句话说：有至少 500 个除数的最小三角数很可能是小素数的小幂的乘积。

因此，与其检查每个数字是否能整除三角形数，不如查看一个最小素数列表，并查看每个素数在素数分解中出现的频率。然后使用上面的公式计算除数。

Answer 4

采取以下步骤：

1.) 计算第一个 log(2, 499) 素数（不是 500，因为如果我弄错了 1 被算作除数，尽管它不是素数，因为它只有一个除数）。有很多解决方案，但你明白我的意思。

2.) 三角形数的形式为 n * (n + 1) / 2，因为 1 + 2 + ... + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 101 * 50 = 101 * 100 / 2 = 5050是一个八岁的男孩，老师用这个任务惩罚了他）。

1 + ... + n = (1 + n) + (2 + n - 1) + ... = n * (n + 1) / 2。

3.) S = prod(first log(2, 499) 素数)

4.) 求解 n * (n + 1) / 2 = S 的方程并计算其上限。你将有一个整数，我们称它为 m。

5.)

while (not(found))
    found = isCorrect(m)
    if (not(found)) then
        m = m + 1
    end if
end while
return m

然后就可以了。如果我能帮助你，请告诉我。

Answer 5

正如@EricLippert nad @LajosArpad 提到的，关键思想是仅迭代triangle numbers。您可以使用以下公式计算它们：

T(n) = n * (n + 1) / 2

这里是JSFiddle，您可能会觉得有帮助。

function generateTriangleNumber(n) {
    return (n * (n + 1)) / 2;
}

function findTriangleNumberWithOver500Divisors() {
    var nextTriangleNum;
    var sqrt;
    for (i = 2;; i++) {
        var factors = [];
        factors[0] = 1;
        nextTriangleNum = generateTriangleNumber(i);
        sqrt = Math.pow(nextTriangleNum, 0.5);
        sqrt = Math.floor(sqrt);
        var j;
        for (j = 2; j <= sqrt; j++) {
            if (nextTriangleNum % j == 0) {
                var quotient = nextTriangleNum / j;
                factors[factors.length] = j;
                factors[factors.length] = quotient;
            }
        }
        factors[factors.length] = nextTriangleNum;
        if (factors.length > 500) {
            break;
        }
    }
    console.log(nextTriangleNum);
}

Answer 6

顺便说一句，divisors of triangular number 搜索查询的第一个 Google 结果给出了这个:)

Project Euler 12: Triangle Number with 500 Divisors

看看有没有帮助。

编辑：那篇文章的文字：

第一个500位以上的三角形数是：76576500 花了 1 毫秒