C++ 中的帕斯卡三角递归程序优化答案

【问题标题】：Pascal Triangle Recursive Program optimization in C++C++ 中的帕斯卡三角递归程序优化
【发布时间】：2011-02-23 19:48:45
【问题描述】：

我已经建立了递归函数来计算帕斯卡的三角形值。

有没有办法优化它？

关于帕斯卡三角形的简短提示：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k) 我的代码是：

int Pascal(int n, int k) {
if (k == 0) return 1;
if (n == 0) return 0;
return Pascal(n - 1, k - 1) + Pascal(n - 1, k);
}

我看到的低效率是它存储一些值两次。例子： C(6,2) = C(5,1) + C(5,2) C(6,2) = C(4,0) + C(4,1) + C(4,1) + C(4,2) 它会调用 C(4,1) 两次

知道如何优化这个功能吗？

谢谢

【问题讨论】：

我认为这是您所看到的递归的一个经典问题，而不是重新计算这些值，您应该将它们存储在类似数据结构的“表”中，而不是重新运行您进行查找的函数桌子。正是您所确定的，使用相同值调用函数的重叠是浪费处理时间（经典的过程时间/内存权衡）。我对此没有直接的解决方案，但您肯定有正确的想法。
一个小的优化是在 n == k 时返回 1，这会将速度从 O(Sum(C(n, i) for i from 0 to k)) 提高到 O(C(n, k))。
@shaunhusain 谢谢，很清楚，我会分配一些内存！ @Neil 也是个好主意。

标签： c++ recursion combinatorics pascals-triangle

【解决方案1】：

以下例程将使用递归定义和记忆来计算 n-choose-k。该例程非常快速且准确：

inline unsigned long long n_choose_k(const unsigned long long& n,
                                     const unsigned long long& k)
{
   if (n  < k) return 0;
   if (0 == n) return 0;
   if (0 == k) return 1;
   if (n == k) return 1;
   if (1 == k) return n;

   typedef unsigned long long value_type;

   class n_choose_k_impl
   {
   public:

      n_choose_k_impl(value_type* table,const value_type& dimension)
      : table_(table),
      dimension_(dimension / 2)
      {}

      inline value_type& lookup(const value_type& n, const value_type& k)
      {
         const std::size_t difference = static_cast<std::size_t>(n - k);
         return table_[static_cast<std::size_t>((dimension_ * n) + ((k < difference) ? k : difference))];
      }

      inline value_type compute(const value_type& n, const value_type& k)
      {
         // n-Choose-k = (n-1)-Choose-(k-1) + (n-1)-Choose-k
         if ((0 == k) || (k == n))
            return 1;
         value_type v1 = lookup(n - 1,k - 1);
         if (0 == v1)
            v1 = lookup(n - 1,k - 1) = compute(n - 1,k - 1);
         value_type v2 = lookup(n - 1,k);
         if (0 == v2)
            v2 = lookup(n - 1,k) = compute(n - 1,k);
         return v1 + v2;
      }

      value_type* table_;
      const value_type dimension_;
   };

   static const std::size_t static_table_dim = 100;
   static const std::size_t static_table_size = static_cast<std::size_t>((static_table_dim * static_table_dim) / 2);
   static value_type static_table[static_table_size];
   static bool static_table_initialized = false;

   if (!static_table_initialized && (n <= static_table_dim))
   {
      std::fill_n(static_table,static_table_size,0);
      static_table_initialized = true;
   }

   const std::size_t table_size = static_cast<std::size_t>(n * (n / 2) + (n & 1));

   unsigned long long dimension = static_table_dim;
   value_type* table = 0;

   if (table_size <= static_table_size)
      table = static_table;
   else
   {
      dimension = n;
      table = new value_type[table_size];
      std::fill_n(table,table_size,0LL);
   }

   value_type result = n_choose_k_impl(table,dimension).compute(n,k);

   if (table != static_table)
      delete [] table;

   return result;
}

【讨论】：

【解决方案2】：

保留以前返回结果的表格（由它们的 n 和 k 值索引）；那里使用的技术是memoization。您还可以将递归更改为迭代并使用dynamic programming 填充一个数组，该数组包含n 和k 值小于您尝试评估的值的三角形，然后从中获取一个元素。

【讨论】：