从 Delaunay 三角剖分计算 Voronoi 区域的大小？

【问题标题】：Compute the size of Voronoi regions from Delaunay triangulation?从 Delaunay 三角剖分计算 Voronoi 区域的大小？
【发布时间】：2012-12-14 16:05:37
【问题描述】：

我想计算一组二维 Voronoi 区域的面积的均值和标准差（如果区域延伸到无穷大，我将其裁剪为单位正方形）。

但是，如果可能的话，我想在不显式计算 Voronoi 区域的情况下从 Delaunay 三角剖分进行此计算？这甚至可能吗，还是直接计算 Voronoi 图更好？

【问题讨论】：

如果不计算 voronoi 图，我认为这是不可能的。您需要确定是否有无穷无尽的大型 voronoi 细胞。如果单元格是有限的，则它由任意多个 Delaunay 三角形部分组成。为什么不想计算 voronoi 图？

标签： algorithm computational-geometry voronoi

【解决方案1】：

为了计算顶点的 voronoi 区域，您需要围绕它迭代 1 环。那么该区域的面积定义为：

A = 1/8 * (sum for every adjacent vertex p_i) { (cot alpha_i + cot beta_i) * (p_i - c).Length² }

在图像中，您可以看到整个 voronoi 区域呈浅红色。它的一部分显示为深红色。这是总和累积的部分之一。 alpha 和 beta 是图像中可见的角度。 c 是中心顶点位置。 p_i 是相反的顶点位置。 alpha、beta 和 p_i 在迭代时发生变化。 c 保持其价值。

如果你计算每个相邻顶点的这些部分，你会得到 voronoi 区域面积的 8 倍。

【讨论】：