证明语言 L = {w ∈ {0, 1} ∗ |输入 x} 的 Mw(x) ↓ 部分可判定但不可判定

Question

我试图证明语言 L = {w ∈ {0, 1} ∗ |输入 x} 的 Mw(x) ↓ 部分可判定但不可判定。 Mw 是 M 的编码，因此语言 L 使得机器 M 的所有编码在某个输入 x 上停止。

我有两个想法：

1. 使用一些决策者 TM 将其减少为停止问题
2. 使用 Post 定理并以某种方式证明 L 的补码是不可判定的，但 L 是部分可判定的

但是，我无法确定这两者中的哪一个实际上是正确的，以及如何使用正确的符号来编写它。谁能提供一些提示？

Answer 1

这个答案假设 L 是图灵机的所有表示的语言，在某些输入上停止。

首先，这种语言必须是半可判定的或递归可枚举的，因为我们可以枚举在某些输入上停止的图灵机编码。为此，请开始枚举所有二进制字符串。在每个阶段，开始一个新的 TM，它开始模拟由刚刚在所有可能输入上生成的字符串编码的机器的执行。继续，以便在所有可能的输入上模拟所有可能的 TM 编码。将这些机器的执行相吻合，以便每个机器在有限时间内获得下一个时间量，以便在有限时间内在每个可能的 TM 上模拟每个可能的输入。如果任何模拟停止，那么我们打印出在输入上停止的编码，我们可以停止模拟该编码。这最终必须打印出语言中的任何编码，因此该语言被枚举。这意味着我们可以回答这个问题，“这个 TM 在语言中吗？”对于任何提供的 TM，只要答案是肯定的（因为我们最终会遇到它）。

其次，语言不能是可判定的，也不能是递归的，因为这给了我们一个明确的方法来判定停止问题：询问所讨论的 TM 是否在该语言中，并得到一个是或否的答案，是否它停止某些输入。我们总是可以修改感兴趣的 TM，以便它只能在任何感兴趣的输入上停止，然后如果我们有特定的输入，则将其输入到我们的决策器中。

第三，这些事实表明该语言不是可递归枚举的，因为它既可递归枚举又可递归枚举意味着它是递归的，但事实并非如此。