在图灵约简中证明语言是不可判定的

Question

我需要证明语言L(EVEN) = { M : |L(M)| is even } 是不可判定的。

换句话说，语言L(EVEN) 是所有接受某种偶数基数语言的图灵机的集合。

这里，M 是某个图灵机的编码，如果存在L(EVEN) 的判定器，它将作为输入传入。

我已经使用图灵还原完成了与此类似的其他问题，可以在这里看到一个示例：

我的问题是我无法想出一些以前证明无法确定的语言来显示L <= L(EVEN)。

到目前为止，我们在课堂上涵盖的不可判定的语言如下：

- L(emptyset) = { M | M is a TM and |L(M)| = emptyset}  
- L(ACC) = { (M, x) | M is a TM, and M accepts input x}  
- L(HALT) = { (M, x) | M is a TM, and M halts on input x}  
- L(EQ) = { (M1, M2) | M1, M2 are TMs, and L(M1) == L(M2) }  
- L(∈ - HALT) = { M | M is a TM, M halts on input ∈ } 

我也可以使用这些语言的补语，因为可判定性在补语下是封闭的。我如何使用这些不可判定的语言之一来证明 L(EVEN) 也是不可判定的，使用与我包含的示例问题类似的设置？

Answer 1

假设我们有一个 L(EVEN) 的判定器。然后，我们可以如下决定L(ACC)：

从输入 M 到 L(ACC) 的 TM，构造一个 TM M'，它首先验证输入磁带是 M 的输入 x，然后在 x 上运行 M。如此构造的 M' 如果 M 接受 x，则接受语言 {x}，如果 M 不接受，则接受空语言。

通过对 M' 的编码使用 L(EVEN) 的判定器，我们可以判断 |L(M')| 是否为 |L(M')|。是偶数（在这种情况下 L(M') 为空且 M 不接受 x）或奇数（在这种情况下 L(M') = {x} 且 M 接受 x）。