证明这种语言是不可判定的

Question

下面的语言L是不可判定的吗？

L = {M | M 是图灵机描述，存在一个长度为 k 的输入 x，使得 M 最多停止k 步}

我认为是，但我无法证明。我试图考虑减少停机问题。

Answer 1

评论：停机问题的一个实例询问车床 N 是否在输入 y 时停机。已知该问题是不可判定的（但半可判定的）。

您的语言L确实无法确定。这可以通过将停机问题减少到 L 来证明：

1. 对于停机问题实例 (N, y)，为 L 创建一个新机器 M问题。
2. 在输入 x 上，M 模拟 (N, y) 的长度（x) 步骤。
3. 如果模拟在该步数内停止，则 M 停止。否则，M 会故意进入无限循环。

这种减少是有效的，因为：

• 如果 (N, y) 最终在 k 步中停止，则 M 将停止所有长度为 k 或更大的输入，因此 M 在 L 中。
• 否则 (N, y) 不会停止，那么 M 不会停止任何输入字符串，无论它有多长，因此 M 不在 L 中。

最后，停止问题是不可判定的，因此 L 是不可判定的。