【发布时间】：2011-01-23 16:53:16
【问题描述】：
在 N 可能非常大（N ~ 10^18）的 N 个礼物中，找到可以选择 k 个礼物的方法数量的有效方法是什么？也就是说我们要计算N(C)K或者N选K。K也可以是N的量级。
【问题讨论】：
标签： algorithm math combinations largenumber
【发布时间】：2011-01-23 16:53:16
【问题描述】：
我想没有快速的方法来计算这么大的数字。你可以使用Stirling's formula来近似它
【讨论】：
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如果我们不知道 k 与 n 的比较情况，斯特林公式将毫无用处。
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@Alexandre C.：嗯，你怎么能这么说？斯特林公式近似于
n!。所以你近似n!, k! and (n - k)!并得到一个近似n! / (k! * (n - k)!)。如果你想对C(n, k)的行为有一个渐近的感觉，那么，是的，你需要k和n之间的关系，但要近似，不。 -
@Jason：计算 3 倍 log gamma 非常快，大概可以媲美 pow + exp + sqrt。斯特林公式（以及斯特林级数）的强大之处在于，当您同时知道 k 和 n 的行为时，它可以让您获得准确的渐近线。您有更好的选择来近似阶乘。 en.wikipedia.org/wiki/Lanczos_approximation 是一个好的开始。
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@Alexandre C.：我不否认这一点。如果我们无法将
k与n进行比较，我否认您的说法，即斯特林公式毫无用处。 -
@Alexandre C.：看，这就是我不同意你的地方。我并不否认您声称您给出的近似值更好（这是众所周知的，它是直接输出的数值食谱）。我否认你声称斯特林近似是无用的。
只有当您有更多的渐近信息（例如k ~ n / 3 或k ~ log n）时，斯特林公式才有用。如果没有关于您的具体问题的进一步信息，您将不会得出任何关于斯特林公式的信息。
对于您所说的问题，当 k 和 n 很大时（即使它们不大）计算 C(n, k) 的最直接方法是使用
log C(n, k) = log (n!) - (log (k!) + log ((n - k)!))
和
n! = gamma(n + 1).
事实上，实现 log gamma 很容易，然后你就有了
C(n, k) = exp (f(n + 1) - f(k + 1) - f(n - k + 1))
f = log gamma.
您可以在 Numerical Recipes 中找到用于计算 log gamma 的数值算法，旧版本可用 there，您将在第 6 章中找到示例实现。
【讨论】：
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另请注意，对于许多应用程序，您甚至可能更乐意存储
ln(C(n, k)) = lngamma(n+1) - lngamma(k+1) - lngamma(n-k+1)。溢出的机会要小得多。 -
你能解释一下什么是伽玛吗？我不熟悉它作为标准功能？还是只是由 gamma(n+1) = n! 定义？
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@Chris: Gamma(x) = 积分(exp(-t) t^(x - 1) dt, t = 0..infinity)。公式 Gamma(n) = (n-1)！通过部分整合而成立。有一些快速的方法可以计算 Gamma 或 log Gamma。
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啊，谢谢。这现在敲响了一些模糊的钟声。我认为它可能是一个在那些离散点上工作的连续函数，但总是很容易检查。 :)
由于多样性是生活的调味品，下面是另一种方法。价值
(N 选择 K)/2^N 接近具有均值 N/2 和标准偏差 Sqrt[N]/2 的正态分布，而且它的速度非常快。因此，我们可以将（N 选择 K）近似为
2^N * Normdist(x,0,1)/std 其中 x =( k - N/2)/std 和 std 是 Sqrt[N]/2。
Normdist(x,0,1) = Exp(-x^2/2)*1/(Sqrt(2*Pi))
就误差而言，数字越大，这应该会变得更好，并且使用 N 作为 113(?) 的快速检查显示最大误差占最大系数的百分比小于 0.3%。
并没有声称它比使用斯特林公式更好，但认为它可能会避免一些 n^n 计算，并且计算这些系数的对数是一个非常简单的计算。
【讨论】：
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感谢 Alexandre，只是将这一切添加到 Log(N 选择 K) = (4*k - (4*Power(k,2))/n + Log(2) + n*(-1 + Log(4)) - Log(n*Pi))/2 这应该是这里最快的算法（如果不是最好的）。
C(n, k) 的值可以接近2^n。 （嗯，数量级更小，但这在这里并不重要）。
重要的是要存储数字2^(10^18)，您需要10^18 位或~ 10^17 字节。
您可能需要调整问题定义，因为没有这样的计算机。
其他人已经指出了近似公式，您可以将结果存储为浮点数，因此不会花费过多的内存。
【讨论】：