寻找数组内的最大总和

Question

我有一个给定的数组[-2 -3 4 -1 -2 1 5 -3]，所以最大的和是7（从第 3 到第 7 个索引的数字）。这个数组只是一个简单的例子，程序应该是用户输入的数组元素和长度。

我的问题是，如何确定哪个总和最大？
我从所有数字和仅正数的总和中创建了一个总和，但正和会很好，但由于“IF 语句”，我没有在第三个索引之后使用 -1 和 -2，所以我的总和是10，解不好。

Answer 1

我假设您的问题是找到总和最大的连续子数组（至少包含一个数字）。否则，问题很简单，因为您可以选择所有正数。

有 3 个解决方案比 O(N^2) 蛮力解决方案更好。 N 是输入数组的长度。

1. 动态编程。 O(N) 运行时间，O(N) 空间

由于子数组至少包含一个数，我们知道只有N个可能的候选者：以A[0]结尾的子数组，A[1]...... A[N - 1] 对于以 A[i] 结尾的子数组，我们有以下最优子结构： maxSum[i] = {maxSum[i - 1] + A[i], A[i]} 的最大值；

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        if(nums == null || nums.length == 0) {
            return max;
        }
        int[] maxSum = new int[nums.length + 1];
        for(int i = 1; i < maxSum.length; i++) {
            maxSum[i] = Math.max(maxSum[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);
        }
        for(int i = 1; i < maxSum.length; i++) {
            max = Math.max(maxSum[i], max);
        }
        return max;
    }
}

1. 前缀和，O(N) 运行时间，O(1) 空间

在遍历整个数组时维护一个最小总和变量。在访问输入数组中的每个数字时，更新前缀和变量 currSum。然后更新以下代码中显示的最大和最小和。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if(nums == null || nums.length == 0) {
            return 0;
        }
        int maxSum = Integer.MIN_VALUE, currSum = 0, minSum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) {
            currSum += nums[i];
            maxSum = Math.max(maxSum, currSum - minSum);
            minSum = Math.min(minSum, currSum);
        }
        return maxSum;
    }
}

1. 分而治之，O(N * logN) 运行时间

将原始问题分成两个子问题，并使用以下公式递归地应用此原理。

令 A[0,....midIdx] 为 A 的左半部分，A[midIdx + 1, ..... A.length - 1] 为 A 的右半部分。leftSumMax 是左子问题，rightSumMax 是右子问题的答案。

最终答案将是以下 3 个之一： 1. 只使用左半边的数字（由左子问题解决） 2. 只使用右半边的数字（由右子问题解决） 3. 使用左右两半的数字（在 O(n) 时间内解决）

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) { 
        if(nums == null || nums.length == 0)
        {
            return 0;
        }
        return maxSubArrayHelper(nums, 0, nums.length - 1);
    }
    private int maxSubArrayHelper(int[] nums, int startIdx, int endIdx){
        if(startIdx == endIdx){
            return nums[startIdx];
        }
        int midIdx = startIdx + (endIdx - startIdx) / 2;
        int leftMax = maxSubArrayHelper(nums, startIdx, midIdx);
        int rightMax = maxSubArrayHelper(nums, midIdx + 1, endIdx);
        int leftIdx = midIdx, rightIdx = midIdx + 1;
        int leftSumMax = nums[leftIdx], rightSumMax = nums[rightIdx];
        int leftSum = nums[leftIdx], rightSum = nums[rightIdx];
        for(int i = leftIdx - 1; i >= startIdx; i--){
            leftSum += nums[i];
            leftSumMax = Math.max(leftSumMax, leftSum);
        }
        for(int j = rightIdx + 1; j <= endIdx; j++){
            rightSum += nums[j];
            rightSumMax = Math.max(rightSumMax, rightSum);
        }
        return Math.max(Math.max(leftMax, rightMax), leftSumMax + rightSumMax);
    }
}

Answer 2

试试这个：

1. 定位第一个正数，偏移i。
2. 将以下正数相加，得到sum 的总和，最后一个偏移量为j。如果此总和大于您当前的最佳总和，它将成为当前最佳总和，偏移量为i 至j。
3. 将后面的负数相加，直到得到另一个正数。如果这个负和的绝对值大于sum，则在这个偏移量处开始一个新的和，否则继续当前的和。
4. 返回第 2 步。

当你到达数组的末尾时停止这个。已找到最佳正数。

如果找不到正和，请找到最小的负值，这个单一条目将是您最好的非平凡和。