生成区间关系组合的算法答案

【问题标题】：Algorithm for generating combinations of interval relationships生成区间关系组合的算法
【发布时间】：2019-05-20 08:42:04
【问题描述】：

我想生成一些样本数据来处理不同类型的区间，并希望确保表示所有可能的区间关系。

出于我的目的，{meets,overlaps,is-finished-by} 是等价的，equals 可以忽略，并且 {B 开始 A，A 包含B} 也是等价的。我还将假设所有间隔都经过排序和标记，使得 A 在 B 之前开始，在 C 之前开始等等。所以我基本上对三种情况感兴趣：

A 在 B 之前（例如 A=[1,2], B=[3,4]）
A 包含 B（例如 A=[1,4]，B=[2,3]）
A 与 B 重叠（例如 A=[1,3], B=[2,4]）

引入第三个区间会产生更多情况：

A 在 B 之前，B 在 C 之前（例如 A=[1,2]、B=[3,4]、C=[5,6]）
A 在 B 之前，B 包含 C（例如 A=[1,2]、B=[3,6]、C=[4,5]）
A 在 B 之前，B 与 C 重叠（例如 A=[1,2]、B=[3,5]、C=[4,6]）
...

虽然在 A 在 B 之前的情况下，A 也将始终在 C 之前，但对于其他变体而言，情况并非如此，我们还需要考虑 A 和 C 的关系：

A 包含 B，B 与 C 重叠，A 与 C 重叠（例如 A=[1,5]、B=[2,4]、C=[3,6]）
A 包含 B，B 与 C 重叠，A 包含 C（例如 A=[1,6]、B=[2,4]、C=[3,5]）

对于给定数量的间隔，可能有多少种不同的关系组合？

生成这些组合的算法是什么？

例如，算法可能会产生以下输出来解决两个区间的情况：

combination, interval name, start, end
1, A, 1, 2
1, B, 3, 4
2, A, 1, 4
2, B, 2, 3
3, A, 1, 3
3, B, 2, 4

图片来源：Höppner, Frank & Topp, Alexander. (2007). Classification Based on the Trace of Variables over Time. 739-749. 10.1007/978-3-540-77226-2_74.

编辑：根据 MBo 的回答，添加了四个间隔的解决方案的可视化。

【问题讨论】：

标签： algorithm combinations

【解决方案1】：

有 (2*n-1)!! （奇数为double factorial）n个区间的组合，序列为1,3,15,105,945...

快速制作的 Python 实现以显示结果。在每个阶段，我们都可以开始新的间隔（比之前的开始大 1）或完成任何打开的间隔

t = 0
def genintervals(n, level, opstart, opened, s):
    if level == 2 * n:
        print(s)
        global t
        t += 1
        return
    if opstart < n:
        genintervals(n, level + 1, opstart + 1, opened + [opstart], s + 's' + str(opstart) + " ")
    for i in range(len(opened)):
        genintervals(n, level + 1, opstart, opened[0:i] + opened[i+1:], s + 'e' + str(opened[i]) + " ")

s0 s1 s2 e0 e1 e2 
s0 s1 s2 e0 e2 e1 
s0 s1 s2 e1 e0 e2 
s0 s1 s2 e1 e2 e0 
s0 s1 s2 e2 e0 e1 
s0 s1 s2 e2 e1 e0  //A covers B and C, B covers C
s0 s1 e0 s2 e1 e2 
s0 s1 e0 s2 e2 e1  //start A, start B, finish A, start C, finish C, finish B
s0 s1 e0 e1 s2 e2 
s0 s1 e1 s2 e0 e2 
s0 s1 e1 s2 e2 e0 
s0 s1 e1 e0 s2 e2 
s0 e0 s1 s2 e1 e2 
s0 e0 s1 s2 e2 e1 
s0 e0 s1 e1 s2 e2
15

【讨论】：