订单重要时如何解决硬币找零任务？

Question

正如我在here 中发现的，

硬币找零问题是使用给定的一组面额 d_1....d_m 找出特定数量的美分 n 找零的方法的数量。是整数分区的一般情况，可以通过动态规划求解。

这个问题通常被问为：如果我们想找 N 美分，并且我们有无限供应 S = { S_1, S_2,....., S_m } 价值硬币，有多少种方法可以我们做出改变？ （为简单起见，顺序无关紧要。）

我试过了，效果很好。那么当不同硬币的顺序确实很重要时，我如何修改它以找到所有可能的硬币组合。

即: 之前

例如对于 N = 4,S = {1,2,3}，有四种解：{1,1,1,1},{1,1,2},{2,2}, {1,3}。

现在：

对于 N = 4,S = {1,2,3}，有 7 个解：{1,1,1,1},{1,1,2},{1,2,1},{ 2,1,1},{2,2},{1,3},{3,1}

这里是 {1,1,1,1}，即使一个人可以以不同的顺序选择四个 '1'，它也必须被视为一个最终组合。而不是考虑四个硬币是不同的。所以实际上不同硬币的顺序必须不同才能算作单独的组合。

例如：{1,1,3} 不会假定 {1_a,1_b,3_a} 是一个组合，而 {1_b,1_a,3_a} 是另一个具有不同顺序的组合。

Answer 1

只计算解决方案的数量比列举所有解决方案的工作量要少得多。

我们以 S={1,2,3} 为例，将 f(n) 称为数量 n 的解数。

那么我们有：

f(n) = 0 如果 n

f(0) = 1

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) 如果 n > 0（其中数字 1,2,3 是 S 的元素）

编写执行这些计算的程序并不难。您可以从较低的数字开始，然后逐步提高：

f(0) = 1
f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 4
f(4) = 7
f(5) = 13
...

对于这个特定的 S，事实证明每个数字只是前面三个数字的总和。

如何得出这个公式？我再次以特定集合 S={1,2,3} 为例，一般情况同样容易。要计算 n 的解决方案数量，请查看第一个元素。它可以是 1、2 或 3。如果是 1，则有 f(n-1) 种方式来排列剩余元素。如果是 2，则剩余元素有 f(n-2) 种方式，最后如果是 3，则剩余元素有 f(n-3) 种方式。因此，总数必须是三者之和。

Answer 2

如果您指的是引用的维基百科页面中的“动态编程”算法，我认为您可以更改

table[ i, j ] = table[ i - S_j, j ] + table[ i, j - 1 ]

到

table[ i, j ] = table[ i - S_j, m ] + table[ i, j - 1 ]

但我还不能 100% 确定。关键是在原始问题中，当您检查硬币 S_j 时，您希望在数量为 i - S_j 时添加可能解决方案的数量，但是只有通过 S_j 的硬币，这样你就不会得到前一个序列的排列。通过将其更改为table[i - S_j, m]，您可以计算排列。

编辑： 进一步研究后，我相信这是正确的，但等同于亨利的答案，这要简单得多。这个版本的问题（计算所有排列）不需要像原始数组那样将值存储在二维数组中。

Answer 3

当前的递归实现非常简单。它只传递剩余价值和可能面额的索引。如果您在到达 n==0 时传递了一个面额数组，您可以添加另一个检查以查看您是否已经拥有该组合。如果确实返回 0，否则返回 1。

这是一个动态解决方案，需要比其他解决方案更多的内存，但它会为您提供答案。

func count(n, m, p[])
//regular if checks with additional nested if in (n == 0)
return count( n, m - 1, p[] ) + count( n - S[m], 0, p[] + S[m] )

在这个伪代码中 p[] + S[m] 只是意味着将 S[m] 添加到 p[] 中的下一个可用位置

编辑：

忘记补充说下潜时需要重置m

// n is remaining value
// m is index of S array
// p[] is array of coins used
// solutions[] is an array of p[] arrays
func count( n, m, p[]) {
  if n == 0
    if (p[] not in solutions[]){
      solutions[].add(p[])
      return 1
    }else{
      return 0
    }
  if n < 0
    return 0
  if m <= 0 and n >= 1
    return 0
  return count(n, m - 1, p[]) + count( n - S[m], 0, p[].add(S[m]))
}

每次您将硬币添加到可能的集合时，都从一个空数组 p[] 开始，您将该值附加到数组中。当您找到解决方案时，您会看到它是否是独一无二的。如果是这样，您将其添加到计数中，否则您将忽略它。 因为 m 每次都会重置，它会遍历所有可能的排列。