硬币找零重复解决方案

Question

给定一个 N 值，如果我们想找 N 美分，并且我们有无限供应 S = { S1, S2, .. , Sm} 价值的硬币，我们有多少种方法可以找零？硬币的顺序无关紧要。不过还有一个额外的限制：你只能用恰好 K 个硬币来找零。

例如，对于 N = 4、k = 2 和 S = {1,2,3}，有两种解：{2,2},{1,3}。所以输出应该是2。

解决方案：

int getways(int coins, int target, int total_coins, int *denomination, int size, int idx)
    {
            int sum = 0, i;
            if (coins > target || total_coins < 0)
                    return 0;
            if (target == coins && total_coins == 0)
                    return 1;
            if (target == coins && total_coins < 0)
                    return 0;
            for (i=idx;i<size;i++) {
                    sum += getways(coins+denomination[i], target, total_coins-1, denomination, size, i);
            }
            return sum;
    }

    int main()
    {
            int target = 49;
            int total_coins = 15;
            int denomination[] = {1, 2, 3, 4, 5};
            int size = sizeof(denomination)/sizeof(denomination[0]);
            printf("%d\n", getways(0, target, total_coins, denomination, size, 0));
    }

以上是递归解决方案。但是我需要动态编程解决方案的帮助：

让dp[i][j][k] 代表i 与j 元素和k 硬币的总和。

所以，

dp[i][j][k] = dp[i][j-1][k] + dp[i-a[j]][j][k-1]

我的循环关系对吗？

Answer 1

我不太明白你的重复关系：

让dp[i][j][k] 用j 元素和k 硬币代表i 的总和。

我认为你在正确的轨道上，但我建议简单地删除中间维度[j]，并使用dp[sum][coinsLeft]，如下所示：

dp[0][0] = 1  // coins: 0, desired sum: 0  =>  1 solution
dp[i][0] = 0  // coins: 0, desired sum: i  =>  0 solutions

dp[sum][coinsLeft] = dp[sum - S1][coinsLeft-1]
                   + dp[sum - S2][coinsLeft-1]
                   + ...
                   + dp[sum - SM][coinsLeft-1]

然后可以在dp[N][K] 找到答案（= 添加 K 个硬币以获得 N 美分的方法数）

这是一些示例代码（我建议您在尝试自己解决之前不要查看。这是一个很好的练习）：

公共静态整数组合（int numCoinsToUse，int targetSum，int [] denom）{
    // dp[numCoins][sum] == 使用 numCoins 获得总和的方法
    int[][] dp = new int[numCoinsToUse+1][targetSum];

     // 0 个硬币不可能有任何总和（0 除外）
     for (int sum = 0; sum = d）
                     dp[c][sum] += dp[c-1][sum - d];
     返回 dp[numCoinsToUse][targetSum-1];
 }

使用您的示例输入：

combinations(2, 4, new int[] {1, 2, 3} ) // gives 2