这个解决“硬币找零”问题的 hylo 解决方案是如何设计的？

Question

我在寻找 @amalloy 的 SO 上的 a nice post 时遇到了 hylomorhism 示例，这些示例通过有用的讨论和完整的实现来说明递归方案 (RS) 的使用：

{-# LANGUAGE DeriveFunctor #-}
import Control.Arrow ( (>>>), (<<<) )

newtype Term f = In {out :: f (Term f)}

type Algebra f a = f a -> a
type Coalgebra f a = a -> f a

cata :: (Functor f) => Algebra f a -> Term f -> a
cata fn = out >>> fmap (cata fn) >>> fn

ana :: (Functor f) => Coalgebra f a -> a -> Term f
ana f = In <<< fmap (ana f) <<< f

hylo :: Functor f => Algebra f b -> Coalgebra f a -> a -> b
hylo alg coalg = ana coalg >>> cata alg

data ChangePuzzle a = Solved Cent
                    | Pending {spend, forget :: a}
                    deriving Functor

type Cent = Int
type ChangePuzzleArgs = ([Cent], Cent)
coins :: [Cent]
coins = [50, 25, 10, 5, 1]

divide :: Coalgebra ChangePuzzle ChangePuzzleArgs
divide (_, 0) = Solved 1
divide ([], _) = Solved 0
divide (coins@(x:xs), n) | n < 0 = Solved 0
                         | otherwise = Pending (coins, n - x) (xs, n)

conquer :: Algebra ChangePuzzle Cent
conquer (Solved n) = n
conquer (Pending a b) = a + b

waysToMakeChange :: ChangePuzzleArgs -> Int
waysToMakeChange = hylo conquer divide

代码按预期工作。尽管对 RS 方面已经有了一些模糊的直觉，但我仍然想知道：

1. 既然这是关于计数组合，为什么Solved Cent 而不是Solved Int？ （如果这是一个合理的问题，这可能听起来像是一个小问题，但我希望它可能是下面其余不确定性的根源，尽管我怀疑我错过了更基本的东西！）。
2. 因为我们稍后会求和，所以divide、Solved 0/1 大概表示失败/成功？
3. 在conquer 中，添加Pending 的a 和b 是什么意思？这 2 个值（如 Cents）表示什么，它们的总和在这种情况下意味着什么？
4. 在conquer 中，我原以为我们只需要对Solveds 求和，作者谈到了这一点，但目前尚不清楚Pending 的情况如何起作用（例如修复@987654336 @确实对功能有不利影响，这可能是waysToMakeChange返回11的线索，或者该情况固定到的任何常量）。李>
5. 在conquer、a 和b 中是Cents，而在divide 中它们是ChangePuzzleArgs（又名([Cent], Cent)）——这种转换发生在哪里？

注意：作为 SO 新手，我无法在原始答案下方评论，这可能更合适，但我希望这也是有用的。

Answer 1

1. 既然这是关于计数组合，为什么Solved Cent 而不是Solved Int？ （如果这是一个合理的问题，这可能听起来像是一个小问题，但我希望它可能是下面其余不确定性的根源，尽管我怀疑我错过了更基本的东西！）。

我也会在这里使用Int。

1. 因为我们稍后在除法中求和，Solved 0/1 大概表示失败/成功？

是的，但远不止于此。 Solved 0 的意思是“恰好有 0 种方法可以产生该变化量”（即失败），而 Solved 1 表示“恰好有 1 种方法可以产生该变化量”（即成功）。在后一种情况下，我们不仅指“成功”，而且还报告说只有一种方法可以解决任务。

1. 在conquer 中，添加Pending 的a 和b 是什么意思？这 2 个值（如 Cents）表示什么，它们的总和在这种情况下意味着什么？

本质上，Pending a b 和a,b::Int 的意思是“产生变化量的方法的数量可以分成两个不相交的集合，第一个具有a 元素，第二个具有b 元素” .

当我们divide 时，我们返回Pending ... ... 以将问题拆分为两个不相交的子案例(coins, n - x) 和(xs, n)。这里coins=(x:xs)。我们根据是否要使用硬币x至少一次（因此我们需要用所有硬币生成n-x），或者我们根本不想使用它（因此我们需要生成@ 987654343@与其他硬币，仅限）。

4. 在conquer 中，我原以为我们只需要对Solveds 求和，作者谈到了这一点，但目前尚不清楚待处理的案例是如何起作用的（例如修复conquer (Pending a b) = 11 确实对功能有不利影响，这可能是waysToMakeChange 返回 11 或该情况固定为任何常数的线索。

总结所有Solved ... 是我们所做的。 cata 魔法本质上取代了简单的递归求和

foo (Solved n) = n
foo (Pending case1 case2) = foo case1 + foo case2

cata conquer 在哪里

conquer (Solved n) = n
conquer (Pending a b) = a + b

cata 的魔力使得在Pending 内部，我们找不到要递归的子树，而是已经计算出的递归结果。

5. 在conquer、a 和b 中是Cents，而在divide 中它们是ChangePuzzleArgs（又名([Cent], Cent)）——这种转换发生在哪里？

一开始这确实很微妙。我只提供一个粗略的直觉。

在ana divide 之后，我们在函子ChangePuzzle 的一个不动点上产生一个结果。注意最后的ana 如何返回Term ChangePuzzle，这是固定点。在那里，([Cent], Cent) 一对神奇地消失了。

当我们使用cata 时，Int 会再次出现，即使我们是从Term ChangePuzzle 开始的。

非常粗略，你可以将Term ChangePuzzle 视为无限嵌套

ChangePuzzle (ChangePuzzle (ChangePuzzle ( ....

这与这样的树可能是任意嵌套的事实是一致的。在那里，ChangePuzzle 的“论据”基本上消失了。

那么我们如何获得最终的Int？好吧，我们知道了，因为 Solved 总是采用 Int 参数，而不是 a 参数。这提供了使最终cata 递归工作的基本情况。