分治法计算好段数

Question

我研究分治法有一段时间了，现在正在研究以下问题：

给定一个长度为 N 的排列 P，计算好段的数量。请注意，N 个整数的序列 A 称为长度为 N 的排列，如果：

   1≤ A_i ≤ N 对于所有 1 ≤ i ≤ N，并且 A_i != A_j 对于所有 1 ≤ i != j ≤ N。

如果 (P_l, P_l+1 , ..., P_r) 也是连续的。也就是说，如果我们将 P_l, P_l+1, ..., P_r 收集到一个新的列表 B 中并对其进行排序，那么这将成立：

   B₁ = B₂-1, B₂ = B₃-1, ... , B_i-1 = B_i-1, ..., B_|B|-1 = B_|B| -1.

例如，在排列[3,2,4,5]中，有8个好的段：

   [3]、[2]、[4]、[5]、[3,2]、[4,5]、[3,2,4] 和 [3,2,4,5]

我分析了组合两个小的分割数组时的几种情况，但我想不出一种策略可以在 O(N) 时间内检测到跨越两个单独数组的好段。

如何做到这一点？

Answer 1

我个人认为这里不可能以有效的方式应用分而治之。

您需要检查给定排列的O(n^2) 子字符串。您可以应用分治法，例如将数组分成两半（左右），检查从左半边开始到右半边结束的所有子字符串，然后递归调用左右半边。这将给出：

n/2 * n/2 = (n/2)^2 = (n^2)/4 1 级的子字符串

n/4 * n/4 + n/4 * n/4 = 2 * (n/4)^2 = (n^2)/8 2 级的子字符串

n/8 * n/8 + n/8 * n/8 + n/8 * n/8 + n/8 * n/8 = 4 * (n/8)^2 = (n^2)/16 3 级的子字符串，依此类推

这会渐近地产生要分析的O(n^2 * log n) 子字符串，如果我们只是迭代处理它们，则比O(n^2) 子字符串更糟糕

对于大于 2 的子问题的数量，情况并不好：如果我们分成 3 个，复杂度是O(n^2 * log3n)，以此类推