O(n log log n) 时间复杂度答案

【问题标题】：O(n log log n) time complexityO(n log log n) 时间复杂度
【发布时间】：2011-07-09 05:32:54
【问题描述】：

我这里有一个小程序：

Given any n:
i = 0;
while (i < n) {
   k = 2;
   while (k < n) {
        sum += a[j] * b[k]
        k = k * k;
   }
   i++;
}

这个的渐近运行时间是O(n log log n)。为什么会这样？我知道整个程序至少会运行 n 次。但我不确定如何找到 log log n。内循环取决于 k * k，所以它显然会小于 n。如果每次都是 k / 2，它只会是 n log n。但是你怎么知道log log n的答案呢？

【问题讨论】：

对于 WHY 的更详细解释，这里有一个问题要寻找：stackoverflow.com/questions/487258/…

标签： algorithm logarithm

【解决方案1】：

对于数学证明，内循环可以写成：

T(n) = T(sqrt(n)) + 1

w.l.o.g assume 2 ^ 2 ^ (t-1)<= n <= 2 ^ (2 ^ t)=>
we know  2^2^t = 2^2^(t-1) * 2^2^(t-1)
T(2^2^t) = T(2^2^(t-1)) + 1=T(2^2^(t-2)) + 2 =....= T(2^2^0) + t =>
T(2^2^(t-1)) <= T(n) <= T(2^2^t) = T(2^2^0) + log log 2^2^t = O(1) + loglogn

==> O(1) + (loglogn) - 1 <= T(n) <= O(1) + loglog(n) => T(n) = Teta(loglogn).

然后总时间为 O(n loglogn)。

为什么内循环是 T(n)=T(sqrt(n)) +1？ 首先看内循环何时中断，当k>n时，表示在k之前至少为sqrt(n)，或者在最多为sqrt(n)之前的两级，所以运行时间为T(sqrt(n)) + 2 ≥ T(n) ≥ T(sqrt(n)) + 1。

【讨论】：

@Tymek，我更新了答案，希望对您有所帮助，但请注意，内循环不是 sqrt(n) + 1，我证明内循环是 log log n，我在内循环中说过我们有T(n) = T(sqrt(n)) + 1。

【解决方案2】：

如果循环变量以恒定的量以指数方式减少/增加，则循环的时间复杂度为 O(log log n)。如果循环变量除以/乘以一个常数，则复杂度为 O(Logn)。

例如：在您的情况下， k 的值如下。让括号中的 i 表示循环已执行的次数。

 2 (0) , 2^2 (1), 2^4 (2), 2^8 (3), 2^16(4), 2^32 (5) , 2^ 64 (6) ...... till n (k) is reached. 
The value of k here will be O(log log n) which is the number of times the loop has executed.

为了假设，我们假设n 是2^64。现在log (2^64) = 64 和log 64 = log (2^6) = 6. 因此当n 是2^64 时，您的程序运行6 次。

【讨论】：

【解决方案3】：

我想如果代码是这样的话，应该是n*log n;

i = 0;
while (i < n) {
    k = 2;
    while (k < n) {
        sum += a[j] * b[k]
        k *= c;// c is a constant bigger than 1 and less than k;
    }
i++;
}

【讨论】：