代码片段的渐近分析答案

【问题标题】：Asymptotic analysis of code fragment代码片段的渐近分析
【发布时间】：2010-12-05 15:12:06
【问题描述】：

我需要找到以下片段的大O运行时间：

sum =0; 
for (int i=1; i<n; i++) {
  for (int j=1; j< n/i; j++) {
    sum = sum +j;
  }
}

我知道外循环是 O(n)，但我在分析内循环时遇到问题。我认为它是 O(log n)。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

正如 Dave 所说，它是 O(n log n)，因为内部循环是 O(log n)。

【讨论】：

【解决方案2】：

让我们用这种伪数学风格来写吧。

sum i <- [1..n] (sum j <- [1..n/i] 1)

内循环（求和）需要

n / i

迭代，这使得整个术语

sum i <- [1..n] (n/i)

根据分配律化简和：

n * (sum i <- [1..n] (1/i))

内部和在很大程度上类似于1/x 上的积分，它是对数。

所以O(n log n) 是对的。

【讨论】：

【解决方案3】：

解决这个问题的最佳方法是考虑算法将采取多少步。

如果你有 n 个元素，你就知道外层循环至少要运行 n 次。所以它必须至少是 O(n)。

对于每个 i，内部循环必须运行多少次？它会随着 i 的增加而增加、保持不变还是减少？

很明显，内循环的步数会随着 i 的增加而减少，更重要的是，它会非线性地减少。所以你知道它没有 O(n^2) 那么糟糕。

所以它介于 O(n) 和 O(n^2) 之间......关于内部循环中的步骤如何减少的更多分析应该会让你到达那里。编辑：......虽然看起来人们已经放弃了它:)

【讨论】：

实际上，即使内部循环中的步数减少，它也可能是 O(n^2)（或更准确地说是 Theta(n^2)）。例如，考虑内部循环为n-i 步骤的情况（在插入排序算法等中就是这种情况）。
for i in 1..n for j in 1..i ... 怎么样？根据你的解释，这不是as bad as O(n²)，因为内部循环范围随着 i 的增加而减小，但它实际上是 O(n²)
@jk：有趣，只有 17 秒的差异^^
@Dario：你刚才不是在评论中反驳了你的回答吗？
@dario 和@jk - 你们是对的，我应该说“线性减少”。